Knopentheorie
Knopentheorie is een deelgebied van de topologie. De topologie bestudeert eigenschappen van lichamen die niet veranderen bij continue vervorming. Knopentheorie onderzoekt welke knopen in elkaar kunnen worden vervormd. Daarbij is een knoop een wiskundige idealisering van een stuk touw waarvan de eindjes zijn samengebonden, d.w.z. eigenlijk een rondlopend stuk touw dat met zichzelf in de knoop zit.
De ruimtelijke figuur die de knoop vormt, is een inbedding van een gesloten kromme in de driedimensionale ruimte. Voor een precieze definitie wordt de hele klasse van equivalente inbeddingen ("knopen") als knoop opgevat. Het is gemakkelijk in te zien dat de knoop bepaald wordt door de manier waarop de lijn om zichzelf heen draait en niet door de verdere ruimtelijke structuur.
Er zijn belangrijke verbanden tussen de knopentheorie en de grafentheorie.
Voorbeelden bewerken
-
Cirkel, de triviale knoop. -
Het klavertje drie of
de klaverbladknoop,
het eenvoudigste voorbeeld van een niet-triviale knoop. -
De Pretzelknoop
Knoopdiagram bewerken
In de voorbeelden hierboven wordt de knoop grafisch voorgesteld in een knoopdiagram door het beeld van de inbedding te projecteren op een vlak dat zodanig wordt gekozen dat het beeld zichzelf slechts een eindig aantal keren snijdt in duidelijk gescheiden kruispunten. Bij elk kruispunt wordt een conventioneel teken aangebracht om aan te geven welke van de twee delen van het touw "boven" het andere ligt, bijvoorbeeld door het "onderste" deel onderbroken te tekenen.
Generalisaties bewerken
Topologen bestuderen in het algemeen de inbeddingen van een gegeven variëteit M in een hogerdimensionale variëteit N, op een continue vervorming van N na die de injectiviteit bewaart.
Een eerste voor de hand liggende generalisatie is de vervanging van door zijn eenpunts-compactificatie, de drie-sfeer S3.
Men zegt dat M knoopt in N als er twee niet-equivalente inbeddingen van M in N bestaan.
Knopentheorie kan ook in andere categorieën van variëteiten worden bedreven. Men kan bijvoorbeeld eisen dat alle variëteiten en afbeeldingen glad (onbeperkt differentieerbaar) zijn. Het is bekend dat de gladde n-sfeer niet knoopt in de gladde n+1-sfeer als n verschillend is van 3 (het geval n=3 is een open probleem).
Verwante begrippen bewerken
Een vlecht is een equivalentieklasse van lijndiagrammen in het vlak die buiten een begrensd gebied bestaan uit n parallelle rechten, en waarbij binnen dat gebied een eindig aantal georiënteerde kruisingen optreedt.
Een schakel is een equivalentieklasse van inbeddingen in de Euclidische ruimte van een eindig aantal disjuncte kopieën van de cirkel. Een knoop is een bijzonder geval van een schakel. De Alexander-polynoom is eigenlijk een link-invariant. Voorbeelden van niet-triviale schakels zijn de Borromeaanse ringen en andere Brunniaanse verbindingen.
Voetnoten bewerken
