Harmonische ligging

Van vier verschillende punten en die op één lijn liggen, zegt men dat de paren en harmonisch liggen ten opzichte van elkaar, als

Daarin staat voor de lengte van het lijnstuk .

De punten en worden harmonische verwanten ten opzichte van (c.q. bij) het puntenpaar genoemd. Ook wel: de punten scheiden de punten harmonisch.

Harmonische ligging betekent dat de dubbelverhouding van de punten gelijk is aan .[1]

Constructies bewerken

Gegeven zijn de punten   en   die op één lijn liggen;   ligt in dit geval tussen   en  .
Te construeren: het punt   op de lijn   zó dat de puntenparen   en   elkaar harmonisch scheiden.

Eerste constructie bewerken

 
1e constructie
Constructiestappen[2]
1. Punt = C \\ niet op de lijn AB
2. Lijn(C, A) ; Lijn(C, B) ; Lijn(C, S)
3. PuntOp(CS) = M
4. Lijn(A, M) ; Lijn(B, M)
5. Snijpunt(AM, BC) = F ; Snijpunt(BM, AC) = E
6. Lijn(E, F)
7. Snijpunt(EF, AB) = T

Dan is T het gevraagde punt.

Tweede constructie bewerken

 
2e constructie
Constructiestappen
1. Lijn(A, B) = g
2. Cirkel(AB) = k \\ AB is middellijn, M is middelpunt
3. Loodlijn(S, g) = l \\ loodlijn in S op g
4. Snijpunt(k, l) = Q
5. Lijnstuk(M, Q) = MQ
6. Loodlijn(Q, MQ) = t \\ raaklijn in Q aan k
7. Snijpunt(t, g) = T

Dan is T de harmonisch verwante van S bij het puntenpaar (A, B).

Bewijzen bewerken

Eerste constructie bewerken

De juistheid van deze constructie volgt uit de stelling van Ceva en die van Menelaos. Immers, daaruit blijkt opvolgend dat:

 

en dat:

 

Zodat  .

Tweede constructie bewerken

Met   is dan:

 

Rekening houdend met de relatie  , die geldt in de rechthoekige driehoek  , leidt dit tot:

 , zodat ook hier  .

Relatie met het harmonisch gemiddelde bewerken

Omdat de dubbelverhouding  , volgt dat

 

zodat

 

of:

 

Dus is

 ,

wat inhoudt dat   het harmonisch gemiddelde is van   en  .

Midden van het eerste lijnstuk bewerken

 

Als   en   harmonisch liggen en   het midden is van  , dan geldt

 ,
 .

Harmonische ligging van lijnen bewerken

Daar het begrip dubbelverhouding ook gedefinieerd is voor een vierstraal − dit is een geordend viertal coplanaire, concurrente, rechte lijnen − kan men ook harmonische ligging van zo'n vierstraal definiëren. De vierstraal   is harmonisch als zijn dubbelverhouding   gelijk is aan −1.

Volgende uitspraken zijn dan gelijkwaardig.

  • De vierstraal   is harmonisch.
  • De lijnen   en   liggen harmonisch ten opzichte van de lijnen   en  .
  • Lijn   is harmonisch toegevoegd aan lijn   ten opzichte van de lijnen   en  .

Voorbeelden bewerken

  • De bissectrices van twee lijnen liggen harmonisch ten opzichte van die twee lijnen.
  • Twee diagonalen van een volledige vierhoek liggen harmonisch ten opzichte van de zijden door hun snijpunt
  • De poollijn van een punt  , ten opzichte van de rechten   en   met snijpunt  , is de lijn harmonisch toegevoegd aan de lijn   ten opzichte van de lijnen  en  .

Zie ook bewerken