Gebruiker:Otto ter Haar/Eindspeltabellen

Eindspeltabellen worden gebruikt bij het analyseren van schaakpartijen. In het eindspel zijn de meeste stukken van het bord verdwenen. Als er minder dan zeven stukken op het bord over zijn is het met hulp van een computer mogelijk om de stelling volledig te analyseren. Voor elke gewonnen stelling is dan de snelste weg naar winst bekend. Het resultaat van deze analyse wordt opgeslagen in een eindspeltabel. Elke combinatie van stukken heeft zijn eigen tabel.

Minder dan twee stukken

Er zijn geen legale stellingen met minder dan twee stukken. De koning wordt nooit geslagen. Als de koning mat staat is de partij uit.

Twee stukken

Voor twee stukken is er maar één tabel: twee koningen. Elke stelling met slechts twee stukken is remise.

Drie stukken

Er zijn vijf tabellen voor stellingen met drie stukken: koning met pion, paard, loper, toren of dame tegen koning alleen. Alle stellingen met alleen paard of loper zijn remise. De stellingen met toren of dame zijn bij het beste spel gewonnen. De tabel geeft daarbij de snelste weg naar winst.

Vier stukken

Er zijn dertig tabellen met vier stukken.

Vijf stukken

Er zijn 110 tabellen met vijf stukken.

Zes stukken

Hoeveel tabellen zijn er met zes stukken?

Algemene formule

Hoe hangt het aantal tabellen af van het aantal stukken op het bord?
Hoe hangt het aantal tabellen af van het aantal verschillende stukken anders dan de koning?
Het totaal aantal stukken op het bord, waarbij we de twee koningen niet meetellen, noemen we n.
Het aantal soorten verschillende stukken anders dan een koning noemen we m.
Het aantal tabellen als functie van deze twee variabelen noemen we f(n,m).
We weten dat voor het schaakspel geldt dat m gelijk is aan 5 (pion, paard, loper, toren of dame).
We kennen de volgende waarden van de functie f:

f(0,5) = 1
f(1,5) = 5
f(2,5) = 30
f(3,5) = 110

Alle stukken in één hand

Ik definieer nu een hulpfunctie g(n,m). Deze functie is het aantal tabellen waarbij alle stukken anders dan een koning van één partij (kleur) zijn. De andere partij heeft dus alleen een koning.

$g(0,m)=1$
$g(1,m)=m$
$g(2,m)=1/2\cdot m\cdot (m+1)$
$g(3,m)=1/6\cdot m\cdot (m+1)\cdot (m+2)$
$g(4,m)=1/24\cdot m\cdot (m+1)\cdot (m+2)\cdot (m+3)$
$g(n,m)=m\cdot (m+1)\cdot ...\cdot (m+n-1)/(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot ...\cdot n)={\frac {\begin{matrix}\prod _{j=0}^{n-1}m+j\end{matrix}}{\begin{matrix}\prod _{j=1}^{n}j\end{matrix}}}={{n+m-1} \choose n}$

Voor m = 5 zijn de eerste waarden van g(.,5): {1, 5, 15, 35, 70, 126}

De stukken verdeeld over de twee partijen

Het totaal aantal tabellen is het produkt van het aantal combinaties van de stukken van de ene partij (wit) met het aantal combinaties van de stukken van de andere partij (zwart) en dan de som hiervan voor alle verdelingen van de stukken tussen beide partijen. De symmetrische tabel van dezelfde stukkenverdeling met verwisselde kleuren tellen we samen met zijn spiegelbeeld als één tabel.

Bij een oneven aantal te verdelen stukken leidt dit tot de volgende formule voor het totaal aantal tabellen:

$f(2n+1,m)={\begin{matrix}\sum _{k=0}^{k=n}g(2n+1-k,m)\cdot g(k,m)\end{matrix}}$

Bij een even aantal stukken, die gelijk verdeeld zijn over beide partijen, corrigeren we voor het feit dat bij symmetrische verdelingen (wit en zwart hebben evenveel stukken) er maar één tabel is, terwijl bij de asymmetrische verdelingen de tabellen met gespiegelde kleuren samen als één worden geteld. Dit levert de volgende formule:

$f(2n,m)={\begin{matrix}\sum _{k=0}^{n-1}g(2n-k,m)\cdot g(k,m)\end{matrix}}+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}g(n,m)\cdot (g(n,m)+1)$

Enkele waarden

f(0,m) = g(0,m) = 1
f(1,m) = g(1,m) = m
f(2,m) = g(2,m) + g(1,m)∙(g(1,m)+1)/2 = m∙(m+1)
f(3,m) = g(3,m) + g(2,m)∙g(1,m) = m∙(m+1)∙(2m+1)/2
f(4,m) = g(4,m) + g(3,m)∙g(1,m) + g(2,m)∙(g(2,m)+1)/2 = m∙(m+1)∙(4m²+5m+6)/6

Zes stukken

f(4,5) = 365, dus er zijn 365 verschillende eindspeltabellen met 6 stukken.

Het zijn er ook 365 volgens deze tabel. {70 (5+1) + 80 (4+2) + 95 (4+2p) + 55 (3+3) + 65 (3+3p)}

Zeven stukken

f(5,m) = g(5,m) + g(4,m)∙g(1,m) + g(3,m)∙g(2,m)
dus het aantal tabellen met 7 stukken f(5,5) = 1001.

Nota bene

Bij deze eindspeltabellen zitten ook de tabellen van stellingen die het gevolg zijn van minorpromoties, zoals het eindspel koning en vier paarden tegen een koning. In de praktijk zal zoiets nooit voorkomen.