Formules van Viète

In de wiskunde zijn de formules van Viète formules waarmee de coëfficiënten van een polynoom uitgedrukt worden in sommen en producten van de nulpunten. De formules zijn genoemd naar de 16e-eeuwse Franse wiskundige François Viète, vaak aangeduid met de gelatiniseerde vorm van z'n naam Franciscus Vieta.

Viète stelde de formules op voor het geval van positieve nulpunten. Naar de mening van de 18e-eeuwse Britse wiskundige Charles Hutton werd het algemene principe het eerst begrepen door de 17e-eeuwse Franse wiskundige Albert Girard.

De formules

In het eenvoudige geval van een tweedegraadspolynoom

$x^{2}+px+q$

met nulpunten $x_{1}$ en $x_{2}$, geldt:

$x_{1}+x_{2}=-p$

en

$x_{1}x_{2}=q$

De som-product-methode is gebaseerd op deze formules om in speciale gevallen de nulpunten te bepalen.

Generalisatie

De polynoom van de graad $n$

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}$

met reële of complexe coëfficiënten, waarvan $a_{n}\neq 0$, heeft volgens de hoofdstelling van de algebra $n$, eventueel samenvallende, nulpunten $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$.

De formules van Viète drukken de verhoudingen $a_{k}/a_{n}$ met voorteken uit in sommen van producten van deze nulpunten

${\begin{cases}\quad -{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}&=x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n-1}+x_{n}\\\quad \quad {\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}&=(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\ldots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\ldots +x_{2}x_{n})+\ldots +x_{n-1}x_{n}\\{}\quad \quad \quad \vdots \\(-1)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}&=x_{1}x_{2}\ldots x_{n}.\end{cases}}$

Algemeen geldt voor $k=1,2,\ldots ,n$:

$(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}$

De rechterleden van de formules zijn de elementair symmetrische functies van de polynoom.

Voorbeeld

Voor de vierdegraadspolynoom

$x^{4}+px^{3}+qx^{2}+rx+s$,

met nulpunten $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$, zien de formules er als volgt uit:

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-p$

$x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}=q$

$x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=-r$

$x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=s$

Zie ook

• Stelling van Gauss-Lucas

Literatuur

• Funkhouser, H. Gray (1930), A short account of the history of symmetric functions of roots of equations. Mathematical Association of America. DOI:10.2307/2299273, 357–365.
• Vinberg, E. B. (2003), A course in algebra. American Mathematical Society, Providence, R.I. ISBN 0-8218-3413-4.
• Djukić, Dušan (2006), The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004. Springer, New York, NY. ISBN 0-387-24299-6.