Extreme waarde (kansrekening)

In de kansrekening en de statistiek is een extreme waarde het maximum of het minimum in een aselecte steekproef. In de theorie over extreme waarden bestudeert men de mogelijke verdeling van de extreme waarden. Deze theorie heeft haar oorsprong in het werk van de Duitse wiskundige Emil Julius Gumbel die de Gumbel-verdeling beschreef in de jaren vijftig.

Centraal in de theorie staat het resultaat dat onder bepaalde voorwaarden als limietverdeling voor een extreme waarde slechts drie verdelingen mogelijk zijn, onafhankelijk van de oorspronkelijke verdeling in de steekproef.

De theorie wordt vooral toegepast in situaties waarin "extreme" gevallen erg belangrijk zijn, zoals bij rampen en calamiteiten. Voor bijvoorbeeld de hoogte van een dijk is het gemiddelde hoogwater niet zo relevant; de kans op een extreem hoge waterstand is bepalend voor de veiligheid van de dijk.

Maximum bewerken

De verdeling van het maximum $Max$ in een aselecte steekproef $X_{1},\ldots ,X_{n}$ wordt gegeven door de verdelingsfunctie:

F_{Max}(x)=P(Max\leq x)=P(X_{1}\leq x,\ldots ,X_{n}\leq x)

Omdat de steekproef bestaat uit onderling onafhankelijke en gelijkverdeelde stochastische variabelen, volgt:

F_{Max}(x)=P(X_{1}\leq x)\cdots P(X_{n}\leq x)=\left(F_{X}(x)\right)^{n}

Daarin is $F_{X}$ de verdelingsfunctie van elk der afzonderlijke variabelen

Minimum bewerken

De verdeling van het minimum $Min$ in een aselecte steekproef $X_{1},\ldots ,X_{n}$ wordt gegeven door de verdelingsfunctie:

F_{Min}(x)=P(Min\leq x)=1-P(Min>x)

Omdat de steekproef bestaat uit onafhankelijke en gelijkverdeelde stochastische variabelen, volgt:

F_{Min}(x)=1-P(X_{1}>x)\cdots P(X_{n}>x)=1-\left(1-F_{X}(x)\right)^{n}

Daarin is $F_{X}$ weer de verdelingsfunctie van elk der afzonderlijke variabelen

Stelling van Fisher–Tippet–Gnedenko bewerken

Deze stelling, van de hand van Gnedenko (1948), met voorgaande versies van Fisher en Tippett in 1928 en van Fréchet in 1927, is de belangrijkste limietstelling in de theorie van extreme waarden. De stelling zegt dat de asymptotische verdeling van het maximum, mits niet ontaard, na hernormering slechts tot een van drie klassen kan behoren, en wel tot de Gumbel-verdeling, de Fréchet-verdeling of de Weibull-verdeling.

De stelling speelt een soortgelijke rol als de centrale limietstelling voor steekproefgemiddelden.

Stelling bewerken

Zij $M_{n}$ het maximum van $n$ onafhankelijke, gelijkverdeelde stochastische variabelen $X_{1},\ldots ,X_{n}.$ Als er een rij van paren reële getallen $(a_{n},b_{n})$ bestaat met $a_{n}>0$ en zo, dat

\lim _{n\to \infty }P\left({\frac {M_{n}-b_{n}}{a_{n}}}\leq x\right)=F(x)

en $F$ is niet ontaard, dan is $F$ de verdelingsfunctie van de Gumbel-, de Fréchet- of de Weibull-verdeling.

Gumbel-verdeling:

F(x)=\exp \left\{-\exp \left(-\left({\frac {x-b}{a}}\right)\right)\right\}{\text{ voor }}x\in \mathbb {R} ,

als de verdeling van $M_{n}$ een exponentiële staart heeft (type 1).

Fréchet-verdeling:

F(x)={\begin{cases}\exp \left\{-\left({\frac {x-b}{a}}\right)^{-\alpha }\right\}&x>b\\0&x\leq b\end{cases}},

als de verdeling van $M_{n}$ een zware staart heeft met inbegrip van polynomiaal verval (type 2).

Weibull-verdeling:

F(x)={\begin{cases}\exp \left\{-\left(-\left({\frac {x-b}{a}}\right)\right)^{\alpha }\right\}&x<b\\1&x\geq b\end{cases}}

als de verdeling van $M_{n}$ een lichte staart met eindige bovengrens heeft (type 3).

In alle gevallen is $\alpha >0$ .

Toepassingen bewerken

De theorie van extreme waarde wordt toegepast om voorspellingen te doen over de waarschijnlijkheid van:

Extreme weersomstandigheden zoals overstromingen, hittegolven
Grote verzekeringsverliezen
Risico's van aandelenportefeuilles
Dagelijkse marktwerkingen
De hoogte van monstergolven
Grote gevallen van mutaties tijdens evolutie
Bepalen van maxima en minima in inkomensverdelingen

Referenties bewerken

Embrechts, P., C. Klüppelberg, en T. Mikosch (1997) Modelling extremal events for insurance and finance. Berlin: Spring Verlag
Gumbel, E.J. (1958). Statistics of Extremes. Columbia University Press.
Gumbel, E.J. (1935). Les valeurs extrêmes des distributions statistiques, Ann. Inst. H. Poincaré, 5, 115-158.
Burry K.V. (1975). Statistical Methods in Applied Science. John Wiley & Sons.
Pickands, J. (1975). Statistical inference using extreme order statistics, Annals of Statistics, 3, 119-131.
Balkema, A., en Laurens de Haan (1974). Residual life time at great age, Annals of Probability, 2, 792-804.
Fisher, R.A., en L. H. C. Tippett (1928). Limiting forms of the frequency distribution of the largest and smallest member of a sample, Proc. Cambridge Phil. Soc., 24, 180-190.
Gnedenko, B.V. (1943), Sur la distribution limite du terme maximum d'une serie aleatoire, Annals of Mathematics, 44, 423-453.