Discrete cosinustransformatie

De discrete cosinustransformatie (DCT) is een transformatietechniek uit de numerieke wiskunde. De methode wordt onder meer toegepast bij datacompressie van audio- en videodata, zoals bij het beeldformaat jpeg. Een gemodificeerde vorm van de methode wordt onder andere gebruikt in het kader van het audioformaat mp3. De discrete cosinustransformatie werd voor het eerst beschreven in 1974 door N. Ahmed et al.

De discrete cosinustransformatie behoort tot de reëelwaardige discrete, lineaire orthogonale transformaties die, net als de discrete fouriertransformatie, een discreet signaal van het tijds- of ruimtedomein omzet naar het frequentiedomein. De discrete cosinustransformatie drukt daartoe een eindige rij data uit als een eindige som van cosinussen met verschillende frequenties. Door een of meer termen met de hoogste frequenties weg te laten kunnen de data gereduceerd (gecomprimeerd) worden, waarbij alleen iets van de scherpte in het beeld verloren gaat.

Principe bewerken

Een cosinustransformatie drukt de rij van   data

 

uit als lineaire combinatie van cosinussen. Daartoe wordt het interval   opgedeeld in   deelintervallen van gelijke lengte   door de equidistante deelpunten   en worden de cosinussen   geëvalueerd in de deelpunten, wat resulteert in de coëfficiënten  .

De lineaire combinatie is dan van de vorm

  voor  

waarin de   nog vrij te kiezen evenredigheidsfactoren zijn. In vectorvorm:

 

De rijen coëfficiënten   vormen een orthogonaal stelsel met betrekking tot het inproduct voor rijen  :

 

dus met weegcoëfficiënten  . Dat houdt in:

  voor  

Verder is:

 
  voor  
Bewijs 

Er geldt namelijk

 

Noem

 

Vermenigvuldig beide leden met  

 

De summanden in de som zijn van hoog naar laag

 
 
 
 
 

De som is dus gelijk aan

 

zodat voor   (merk op dat  )

 

Verder is

 

Dus volgt voor   (omdat   mogen we   schrijven als  )

  als  
  als  

Ook is

 
  voor  
 

Uitwerken van het inproduct   levert

 

Voor de coëfficiënten   volgt daardoor

  voor  
 

en

 

of in matrixvorm:

 .

Daarbij is   een orthogonale matrix met als elementen de coëfficiënten   die de waarden van een cosinus zijn, afhankelijk van   en   eventueel nog met een normeringsfactor. Omdat de matrix   orthogonaal is, kan de transformatie ook omgekeerd worden, en kunnen de oorspronkelijke data   uit de getransformeerde data   teruggevonden worden.

Er zijn verschillende vormen van de discrete cosinustransformatie, die onderling verschillen door de keuze van de coëfficiënten  . Opgemerkt moet worden dat de verschillende normeringsfactoren in de literatuur niet eenduidig vast liggen. Zo voeren bijvoorbeeld sommige auteurs een extra factor  in om te vermijden dat bij de omgekeerde transformatie nog een extra factor benodigd is. Ook is bij de verschillende keuzes nog een extra factor nodig om de matrix   tot een orthogonale matrix te maken.

DCT-I bewerken

Bij deze vorm kiest men   en   De coëfficiënten worden dan:

 
  voor  
 

De DCT-I is dus gedefinieerd door:

  voor  .

De DCT-I is op een factor   na z'n eigen omgekeerde.

DCT-II bewerken

De gebruikelijke vorm van de cosinustransformatie is de DCT-II. De   data   worden weer geschreven als lineaire combinatie van cosinussen. Voor het bepalen van de coëfficiënten

 

wordt het interval   opgedeeld in   gelijke delen, dus met lengte  . De cosinussen worden nu geëvalueerd in de middens   van de deelintervallen

 

De coëfficiënten worden:

 

De DCT-II is dus gedefinieerd door:

  voor  

DCT-III bewerken

De DCT-III is op een factor   na de omgekeerde van de DCT-II. De coëfficiënten zijn:

 
  voor  

De DCT-III is dus gedefinieerd door:

  voor  

DCT-IV bewerken

Bij deze vorm van de discrete cosinustransformatie zijn de coëfficiënten:

 

De DCT-IV is dus gedefinieerd door:

  voor  

De DCT-IV is op een factor   na z'n eigen omgekeerde.

Voorbeeld bewerken

Van de   data

 

wordt met de DCT-II de getransformeerde berekend.

 

Merk op, dat zoals te verwachten was, de coëfficiënten met even index gelijk zijn aan 0:

  voor  

Terugtransformeren levert de oorspronkelijke data op uitgedrukt in cosinussen:

 

Laat men de hoogste frequentie weg, door   te stellen, dan levert terugtransformeren niet meer de oorspronkelijke data   op, maar (afgerond):

 

Transformatie met de DCT-I levert:

 

Meer dimensies bewerken

Speciaal in de digitale beeldbewerking wordt gebruikgemaakt van een discrete cosinustransformatie in twee dimensies gebaseerd op DCT-II. Uitbreiding naar meer dimensies gebeurt eenvoudigweg door toepassing van de transformatie in elk van de dimensies. In het geval van tweedimensionale data

 

door toepassing van DCT-II op de rijen en op de kolommen.

De coëfficiënten   worden bepaald door

 

Werking DCT bewerken

 
Figuur 1
 
Figuur 2
 
3D tabel

Om te begrijpen hoe een DCT werkt, is het belangrijk te weten wat voor data gemanipuleerd worden. Een afbeelding wordt voorgesteld als een array van natuurlijke getallen. Ieder getal stelt de grijswaarde van een pixel van de afbeelding voor. Figuur 1 geeft een grijs vierkant van 8×8 pixels weer. In figuur 2 worden de pixelwaarden in een matrix voorgesteld. Deze grijswaardes gaan van 0 (zwart) tot 255 (wit). De weergegeven grijstint heeft 140 als waarde.

Een DCT transformeert de grijswaardes, gegeven in de array, naar het frequentiedomein. Dit betekent dat de data in de matrix worden voorgesteld als de som van een reeks golven met verschillende amplitudes en frequenties.

Om de afbeelding als een golfvorm te kunnen voorstellen, kan de 3D-tabel beschouwd worden. In deze figuur is iedere waarde van elke pixel voorgesteld als de hoogte op de verticale as. De verandering in deze waardes (of hoogtes) kan worden gezien als een 2D-golfvorm.

Deze 2D-golfvorm wordt door de DCT opgedeeld in frequentiecomponenten, net zoals een 1D-golfvorm die wordt omgezet naar het frequentiedomein. De som van de frequentiecomponenten gemaakt door DCT is gelijk aan de originele golf. Het resultaat van de DCT, uitgevoerd op figuur 1a, is te zien in onderstaande matrix. De waarde van de laagste frequentie staat in de linkse bovenhoek. De frequentie stijgt als we meer naar rechts of naar onder gaan.

 

Het enige element heeft een waarde van 800. Dit komt doordat de afbeelding bestaat uit slechts 1 grijswaarde.

Toepassing bewerken

In het volgende voorbeeld wordt de DCT   berekend van de 2×2-matrix.

 

Voor de elementen van   geldt de formule.

 ,

waarin   het aantal rijen en   het aantal kolommen voorstellen en

  enkel als  
  in de andere gevallen

Voor   volgt, met  :

 
 

Dus

 

Voor   en   volgt op soortgelijke wijze:

 
 

Dus

 

De twee andere elementen worden op analoge manier berekend; het uiteindelijke resultaat is:

 

Ook hier staat de grootste waarde in de linkerbovenhoek.

Zie ook bewerken

Externe link bewerken