Differentieerbaarheidsklasse

In de analyse is een differentieerbaarheidsklasse een klasse waarin een functie kan worden ingedeeld, die ertoe dient de mogelijkheden deze functie te differentiëren te kunnen classificeren. Hogere-orde differentieerbaarheidsklassen corresponderen met het bestaan van meer afgeleiden. Ruwweg kan men zeggen dat een functie die $k$ keer continu kan worden gedifferentieerd tot de $k$-de differentieerbaarheidsklasse hoort.

Een bultfunctie is een gladde functie met een compacte drager.

De functie $f(x)=x$ voor $x\geq 0$ en anders 0, van klasse $C^{0}$

Een gladde functie die niet analytisch is.

Classificatie

Een reële functie $f$ gedefinieerd op een open deelverzameling van de reële getallen behoort tot de differentieerbaarheidsklasse $C^{k}$ met $k$ een niet-negatief geheel getal, als de eerste $k$ afgeleiden $f',f'',\ldots ,f^{(k)}$ bestaan en continu zijn. De eerste $k-1$ afgeleiden zijn automatisch continu vanwege het bestaan van de $k$-de afgeleide. Men zegt dan ook dat $f$ van de klasse $C^{k}$ is.

Van een functie $f$ zegt men dat deze van klasse $C^{\infty }$, of glad is, als de functie afgeleiden heeft van alle mogelijk ordes. Van $f$ zegt men dat deze van klasse $C^{\omega }$ of analytisch is, als $f$ glad is en als $f$ gelijk is aan haar taylorreeksontwikkeling rond elk willekeurig punt in haar domein.

Anders gezegd bestaat de klasse $C^{0}$ uit alle continue functies. De klasse $C^{1}$ bestaat uit alle differentieerbare functies, waarvan de afgeleide continu is. Deze functies worden continu differentieerbaar genoemd. In het algemeen kunnen de klassen $C^{k}$ recursief worden gedefinieerd door $C^{0}$ als de verzameling van alle continue functies te definiëren en $C^{k}$ voor elk positief geheel getal $k$ als de verzameling van alle differentieerbare functies te definiëren waarvan de afgeleide van klasse $C^{k-1}$ is. In het bijzonder maakt $C^{k}$ deel uit van $C^{k-1}$ voor elke $k$, en er zijn voorbeelden die laten zien dat deze opsluiting strikt is. $C^{\infty }$ is de doorsnede van de verzamelingen $C^{k}$ als $k$ varieert over de niet-negatieve gehele getallen. $C^{\omega }$ is strikt genomen opgesloten in $C^{\infty }$. De bultfunctie is hier een voorbeeld van.