Constante van Gelfond

Het getal $e^{\pi }$, oftewel e tot de macht $\pi$, wordt de constante van Gelfond genoemd. De numerieke waarde bedraagt bij benadering 23,1406926...

De constante kan ook geschreven worden als:

$(-1)^{-i}$,

waarin $i$ de imaginaire eenheid is.

Definieert men

$k_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$

en voor $n>0$

$k_{n+1}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}$,

dan convergeert

$\left({\frac {4}{k_{n+1}}}\right)^{2^{-n}}$

snel naar $e^{\pi }$.

Eigenschappen

Het getal $e^{\pi }$ is een transcendent getal. Dit werd aangetoond door Aleksander Gelfond aan de hand van de stelling van Gelfond-Schneider.

Het is opmerkelijk dat van andere combinaties van e en $\pi$ zoals $\pi +e$, $\pi e$ of $\pi ^{e}$ (nog) niet bekend is of die transcendent of zelfs maar irrationaal zijn.

Bronnen, noten en/of referenties

Bijzondere getallen