In de getaltheorie is de aliquotrij van een natuurlijk getal een rij getallen die begint met dat getal en waarvan verder elk getal de aliquotsom is van het getal dat in die rij eraan vooraf gaat.[1]
Voorbeelden Is
n
=
6
{\displaystyle n=6}
s
{\displaystyle s}
functie die de aliquotsom van
n
{\displaystyle n}
[2]
s
(
6
)
=
1
+
2
+
3
=
6
{\displaystyle s(6)=1+2+3=6}
De aliquotrij van het getal
6
{\displaystyle 6}
6
,
6
,
6
,
.
.
.
{\displaystyle 6,6,6,...}
Is
n
=
18
{\displaystyle n=18}
s
(
18
)
=
1
+
2
+
3
+
6
+
9
=
21
,
s
(
21
)
=
1
+
3
+
7
=
11
,
s
(
11
)
=
1
,
s
(
1
)
=
0
{\displaystyle s(18)=1+2+3+6+9=21,s(21)=1+3+7=11,s(11)=1,s(1)=0}
De aliquotrij van
18
{\displaystyle 18}
18
,
21
,
11
,
1
,
0
{\displaystyle 18,21,11,1,0}
De aliquotrij van een willekeurig natuurlijk getal
n
{\displaystyle n}
n
,
s
(
n
)
,
s
(
s
(
n
)
)
,
s
(
s
(
s
(
n
)
)
)
,
.
.
.
{\displaystyle n,s(n),s(s(n)),s(s(s(n))),...}
Of, recursief gedefinieerd met
a
k
{\displaystyle a_{k}}
{
(
i
)
a
0
=
n
(
i
i
)
a
k
=
s
(
a
k
−
1
)
,
voor
k
≥
1
en
a
k
−
1
>
0
(
i
i
i
)
a
k
=
0
,
als
a
k
−
1
=
0
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{*{35}{l}}(i)&{{a}_{0}}=n\\(ii)&{{a}_{k}}=s({{a}_{k-1}}){\text{,}}\ {\text{voor}}\ k\geq 1\ {\text{en}}\ {{a}_{k-1}}>0\\(iii)&{{a}_{k}}=0,\ {\text{als}}\ {{a}_{k-1}}=0\\\end{array}}\right.}
Onderdeel
(
i
i
i
)
{\displaystyle (iii)}
0
{\displaystyle 0}
0
,
0
,
0
,
.
.
.
{\displaystyle 0,0,0,...}
[3]
Veel aliquot-rijen eindigen met
0
{\displaystyle 0}
priemgetal is (dat per definitie alleen
1
{\displaystyle 1}
[4]
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
7
,
8
,
9
,
10
,
11
,
12
,
13
,
14
,
15
,
16
,
17
,
18
,
19
,
20
,
21
,
22
,
23
,
24
,
26
,
27
,
29
,
30
,
31
,
32
,
33
,
34
,
35
,
36
,
37
,
38
{\displaystyle 1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,26,27,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38}
De aliquotrij van een perfect getal
n
{\displaystyle n}
6
{\displaystyle 6}
28
{\displaystyle 28}
repeteert :
n
,
n
,
n
,
.
.
.
{\displaystyle n,n,n,...}
De aliquotrij van een bevriend getal is eveneens repeterend. Immers, als de getallen
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
s
(
a
)
=
b
{\displaystyle s(a)=b}
s
(
b
)
=
a
{\displaystyle s(b)=a}
a
{\displaystyle a}
a
,
b
,
a
,
b
,
.
.
.
{\displaystyle a,b,a,b,...}
Er zijn ook aliquot-rijen die repeteren zonder dat het startgetal een perfect of een bevriend getal is. Voorbeeld . Voor
n
=
95
{\displaystyle n=95}
s
(
95
)
=
1
+
5
+
19
=
25
,
s
(
25
)
=
1
+
5
=
6
,
s
(
6
)
=
6
{\displaystyle s(95)=1+5+19=25,\ s(25)=1+5=6,\ s(6)=6}
De aliquotrij van
95
{\displaystyle 95}
95
,
25
,
6
,
6
,
.
.
.
{\displaystyle 95,25,6,6,...}
Vermoeden van Catalan-Dickson
bewerken
In 1888 formuleerde de Belgische wiskundige Catalan (1814-1894) het volgende vermoeden omtrent aliquot-rijen:
Elke aliquotrij eindigt met een priemgetal of met een perfect getal. In 1913 is dit vermoeden aangescherpt door Dickson (1874-1954) tot:[5]
Elke aliquotrij eindigt met een priemgetal of met een perfect getal, of gaat over in een repeterende rij. Het blijft nog steeds bij een vermoeden omdat van enkele getallen niet bekend is hoe ze eindigen. Dit zijn onder meer de zogenoemde Vijf van Lehmer : 276, 552, 564, 660 en 966.[6]
Bronnen D. Wells (1986): Woordenboek van eigenaardige en merkwaardige getallen. Amsterdam: Uitgeverij Bert Bakker; pp. 166-167.F. Beukers (1998): Getaltheorie . Utrecht: Epsilon Uitgaven; pp. 32-39.(fr ) J.P. Delahaye (2002): Nombres aimables et suites aliquotes Pour la science , no. 292; pp. 98-103.M. Looijen (2015): Over getallen gesproken . Zaltbommel: Van Haren Publishing (VHP), 2e druk (2016); pp. 112-113.Noten
↑ Het woord aliquot wordt hier gebruikt als een (niet-verbogen) bijvoeglijk naamwoord.
↑ De aliquotsom van een getal is gelijk aan de som van de echte delers van dat getal. Per definitie is
s
(
1
)
=
0
{\displaystyle s(1)=0}
↑ De regel die in de recursieve definitie is aangegeven met
(
i
i
i
)
{\displaystyle (iii)}
↑ Zie rij: A08907 - Numbers whose aliquot sequences terminates in 1 (or 0) . Op: On-Line Encyclopedia of Integer Sequences .
↑ L.E. Dickson (1913): Theorem and tables on the sums of divisors of a number . In: The Quarterly Journal of Mathematics , vol. 44; pp. 264-296.↑ (en ) M. Benito, J.L. Varona (1998): Advances in aliquot sequences Mathematics Of Computation , vol. 68, nr. 25; pp. 389-393. Gearchiveerd op 22 juli 2018.
