Regel van l'Hôpital

De regel van l'Hôpital is een stelling in de wiskunde die kan worden gebruikt bij het berekenen van de limiet van het quotiënt van twee functies door middel van hun afgeleiden. De regel is genoemd naar de Franse wiskundige Guillaume de l'Hôpital (1661–1704), die de regel als eerste publiceerde in zijn boek L'Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes; dit terwijl de regel waarschijnlijk als eerste is ontdekt door Johann Bernoulli.

De regel is speciaal van toepassing als de limieten van elk van de functies, bij dezelfde waarde van het argument, zodanige waarden hebben dat het quotiënt onbepaald is.

Formulering van de regelBewerken

Als voor twee differentieerbare functies   en   en een getal   voldaan is aan een van de voorwaarden:

 

of

 ,

geldt

 

mits de limiet in het rechterlid bestaat.

Door toepassing van deze regel kunnen onbepaaldheden van de vorm   en   mogelijk opgelost worden.

BewijsBewerken

Zij:

  •  ,
  •  ,
  •  

Dan geldt:

 ,

zodat

 


Precieze formuleringBewerken

Laat   een niet-leeg open interval zijn en  twee differentieerbare functies waarvoor de linkerlimieten   en   beide bestaan en gelijk zijn aan 0, of beide divergeren naar  .

Als   voor alle   en

 

bestaat of divergeert naar  , dan bestaat ook

 

of divergeert naar  

Analoge resultaten gelden voor een interval   en rechterlimieten, en voor  

Als   een echte deelverzameling is van een open interval waarop aan de genoemde voorwaarden voldaan is, dan geldt in het bijzonder:

 

VoorbeeldenBewerken

Als voorbeeld kan de regel van l'Hôpital gebruikt worden om te berekenen dat:

 

Merk op dat dit ook gewoon de definitie van de afgeleide van   in het punt   is.

 

De breukmethode (de onbepaaldheid )Bewerken

Via de volgende manier kan men een limiet met als uitkomst een onbepaalde vorm oplossen door om te vormen naar een breuk, en daar de regel van l'Hôpital op toe te passen. Als er bijvoorbeeld een limiet is met uitkomst:

  dan vormen we het rechterlid om tot  

In deze vorm kan de regel van l'Hôpital toegepast worden. Dit gebeurt als volgt:

 

Limieten van de vorm Bewerken

Limieten die aanleiding geven tot de onbepaaldheid   kunnen soms worden opgelost met de Regel van de l'Hôpital. Dit is het geval indien de oneindigheden zelf onstaat vanuit een 'deling door nul'.

  • Voorbeeld
 

Door beide termen op dezelfde noemer te brengen wordt de limiet

 

en dit kan met de basisregel van de l'Hôpital worden opgelost.

Limieten van de vorm Bewerken

Ook bepaalde limieten van de volgende vorm kunnen met de Regel van de l'Hôpital worden opgelost:

 

indien die na invulling van het limietpunt   aanleiding geven tot een onbepaaldheid van de vorm   of   of  . De achterliggende reden is dat elk van deze onbepaaldheden door toepassing van de regel   wordt omgezet in de onbepaaldheid  .

De limiet wordt daartoe eerst herschreven, door gebruik te maken van een exponentiële functie en een logaritmische functie, in de vorm

 

De logaritmische functie kan immers binnen de limiet gebracht worden omdat ze over haar volledig domein continu is. Door deze actie wordt voor elk van de drie genoemde onbepaaldheden de beoogde onbepaaldheid

 

bekomen, die dan verder kan worden omgezet in een onbepaaldheid

  of  

wat dan tenslotte in aanmerking komt voor de Regel van de l'Hôpital.

  • Voorbeeld
 

Enkel de rechterlimiet waarbij nul door x wordt benaderd langs grotere (positieve) waarden is hier mogelijk. Door het limietpunt   in te vullen wordt een onbepaaldheid bekomen:  .

De limiet wordt dus herschreven als

 

We laten de e-macht nu even achterwege. De limiet zelf is een onbepaaldheid  . Door de sinus als een cosecans in de noemer te plaatsen wordt de limiet herschreven als

 

en dit geeft nu een onbepaaldheid   die verder kan worden aangepakt met de Regel van de l'Hôpital.

Na toepassing vindt men als resultaat 0. De finale waarden van de oorspronkelijke limiet is dus, door de exponentiële functie weer in rekening te brengen, gelijk aan