Oppervlaktegetrouwe kegelprojectie

De oppervlaktegetrouwe kegelprojectie of projectie van Albers is een kaartprojectie waarbij de hele wereldkaart de vorm heeft van een sector van een cirkelring, waarbij de binnencirkelboog een punt op Aarde (vaak een van de beide polen) representeert, en de buitencirkelboog het tegenoverliggende punt. De familie heeft twee parameters (naast de keuze van de lengtegraad van het midden en de parameter voor het vergroten of verkleinen van de hele kaart): twee parallellen, de zogenaamde standaardparallellen, waar een vierkantje op Aarde wordt afgebeeld als een vierkantje. Hier is de kaart dus naast oppervlaktegetrouw ook hoekgetrouw. Tussen de standaardparallellen wordt een vierkantje op Aarde afgebeeld als een staande rechthoek. Deze keuzes impliceren de sectorhoek.

Kegelprojectie van Albers
Gunstige eigenschap	oppervlaktegetrouw
Niet-geometrische bewerkingen	verschaald langs meridianen tbv oppervlaktegetrouwheid
Geometrische constructie
Vorm van het projectievlak	kegel
Positie van het projectievlak	normaal
Rakend/snijdend	snijdend op 45-22,5 en 45+22,5 graden
Portaal    Geografie

De projectie van Albers is geschikt voor het afbeelden van landen die ver uitgestrekt zijn in oost-west-richting maar niet meer dan enkele tientallen graden in noord-zuid-richting. Een vuistregel bij het maken van Albersprojecties is dat de standaardparallellen op een-zesde van de onder- resp. bovenzijde van de kaart liggen (in het voorbeeld hiernaast is daarvan afgeweken om een kaart van de hele wereld te kunnen maken).

De projectie van Albers wordt veel gebruikt voor het afbeelden van de Verenigde Staten (zonder Alaska) waarbij de standaardparallellen gekozen worden op 29,5° en 45,5° Noorderbreedte.

De projectie werd in 1805 ontwikkeld door de Duitse wiskundige en cartograaf Heinrich Christian Albers (1773 - 1833). Albers was goed op de hoogte van het werk van Johann Heinrich Lambert, wat blijkt uit de sterke wiskundige overeenkomst met diens kegelprojecties.

Formules

Als φ₁ en φ₂ de standaardparallellen zijn, dan geldt voor een kegelprojectie met de kegelpunt naar het noorden, met

$n={\tfrac {1}{2}}(\sin \phi _{1}+\sin \phi _{2})$

dat deze n het aantal graden is waaronder een lengtegraad wordt afgebeeld; de hele kaart beslaat dus een sector van 360 n graden.

Deze n moet positief zijn, het midden tussen de standaardparallellen moet dus op het noordelijk halfrond liggen (voor het limietgeval waarbij n nul wordt zie onder).

Stel R is de straal van de Aarde, en oppervlaktes zijn op de kaart $s^{2}$ maal zo groot als op Aarde, dan is de straal op de kaart van de parallel op breedtegraad φ:

$\rho ={\frac {Rs}{n}}{\sqrt {1+\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}-(\sin \phi _{1}+\sin \phi _{2})\sin \phi }}$

dus voor de standaardparallellen geldt $\rho ={\frac {Rs}{n}}\cos \phi _{1}$ en $\rho ={\frac {Rs}{n}}\cos \phi _{2}$

Verder volgt hieruit de straal op de kaart van de cirkelboog die de noordpool representeert:

$\rho ={\frac {Rs}{n}}{\sqrt {1+\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}-(\sin \phi _{1}+\sin \phi _{2})}}={\frac {Rs}{n}}{\sqrt {(1-\sin \phi _{1})(1-\sin \phi _{2})}}$

Alleen als minstens een van de standaardparallellen de noordpool is wordt de noordpool dus gerepresenteerd door een enkel punt. Als beide standaardparallellen de noordpool zijn betreft dit de azimutale projectie van Lambert. Er geldt dan n = 1.

De straal op de kaart van de cirkelboog die de zuidpool representeert is:

$\rho ={\frac {Rs}{n}}{\sqrt {1+\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+(\sin \phi _{1}+\sin \phi _{2})}}={\frac {Rs}{n}}{\sqrt {(1+\sin \phi _{1})(1+\sin \phi _{2})}}$

Het verschil van de beide stralen (de breedte van de ringsector voor de hele kaart) is:

$\Delta \rho ={\frac {4Rs}{{\sqrt {(1+\sin \phi _{1})(1+\sin \phi _{2})}}+{\sqrt {(1-\sin \phi _{1})(1-\sin \phi _{2})}}}}$

Bij samenvallende standaardparallellen is dit 2Rs.

Als $\phi _{1}\geq 0$ en $\phi _{2}$ nadert van boven naar $-\phi _{1}$ dan naderen de binnen- en buitenstraal naar oneindig, en wordt de kaart rechthoekig met hoogte ${\frac {2Rs}{\cos \phi _{1}}}$ en breedte $2\pi Rs\cos \phi _{1}$, de oppervlaktegetrouwe cilinderprojectie met standaardparallellen $\phi _{1}$ en $-\phi _{1}$.

De schaal in oostwestrichting is as en de noordzuidschaal s/a met

$a={\frac {\sqrt {1+\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}-(\sin \phi _{1}+\sin \phi _{2})\sin \phi }}{\cos \phi }}$

Zie ook

Variant op kegelprojectie:

• Polyconische projectie

Andere oppervlaktegetrouwe projecties:

• Oppervlaktegetrouwe azimutale projectie (azimutale projectie van Lambert)
• Oppervlaktegetrouwe cilinderprojectie
• Mollweideprojectie
• Projectie van Aitoff-Hammer
• Projectie van Bonne
• Projectie van Gall-Peters
• projectie van Goode

Externe link

• http://mathworld.wolfram.com/AlbersEqual-AreaConicProjection.html

Bronnen, noten en/of referenties

Kaartprojecties

hoek-, oppervlakte- en afstandsgetrouw	globe
	kegelprojecties	cilinderprojecties	azimutale projecties
hoekgetrouw of conform	hoekgetrouwe kegelprojectie of lambertprojectie	hoekgetrouwe cilinderprojectie mercator, schuine mercator, transversale mercator, universele transversale mercator	hoekgetrouwe azimutale projectie of stereografische azimutale projectie
oppervlaktegetrouw of equivalent	oppervlaktegetrouwe kegelprojectie of projectie van Albers Bonne	oppervlaktegetrouwe cilinderprojectie orthografische cilinderprojectie of oppervlaktegetrouwe cilinderprojectie van Lambert, Gall-Peters, Behrmann, Hobo-Dyer, Mollweide, sinusoïde, Goode, Eckert II, IV en VI	oppervlaktegetrouwe azimutale projectie of azimutale projectie van Lambert Aitoff-Hammer
beperkt afstandsgetrouw of equidistant	afstandsgetrouwe kegelprojectie polyconische projectie	afstandsgetrouwe cilinderprojectie kwadratische platkaart, middelbreedtekaart, Cassini	afstandsgetrouwe azimutale projectie tweepunts-equidistant, Postel
onechte projecties		stereografische cilinderprojectie, Miller, Robinson	Winkel-tripel, gnomonisch, orthografische azimutaal
	Van der Grinten, sinaasappelschil, polyeder, perspectief, Dymaxion-projectie