Overleg:F- en Z-hoeken

Bewijs van de stelling en van het omgekeerde

Bewijs 

Het bewijs hiervan gaat uit het ongerijmde:

Voor F-hoeken:

Als $\alpha$ en $\gamma$ twee F-hoeken zijn, verbonden aan de lijnen $h$ en $k$, dan zijn volgens de definitie $h$ en $k$ evenwijdig.

Veronderstel dat $\alpha$ en $\gamma$ twee F-hoeken zijn, maar dat hoek $\gamma$ groter is dan $\alpha$. De som van de hoeken $\alpha$ en $\beta$ is dan kleiner dan 180°, dus hebben de lijnen $h$ en $k$ een snijpunt $S$, dat samen met de beide andere hoekpunten een driehoek vormt. Lijnen die elkaar snijden kunnen niet evenwijdig zijn. De veronderstelling dat $\gamma$ groter was dan $\alpha$ heeft tot een contradictie geleid, kan dus niet juist zijn en daarmee is bewezen dat $\gamma$ en $\alpha$ even groot zijn.

Voor Z-hoeken:

Als $\beta$ en $\zeta$ twee Z-hoeken zijn, verbonden aan de lijnen $h$ en $k$, dan zijn volgens de definitie $h$ en $k$ evenwijdig.

Veronderstel dat $\beta$ en $\zeta$ twee Z-hoeken zijn, maar dat hoek $\zeta$ groter is dan $\beta$. De som van de hoeken $\alpha$ en $\beta$ is dan kleiner dan 180°, dus hebben de lijnen $h$ en $k$ weer een snijpunt $S$, dat samen met de beide andere hoekpunten een driehoek vormt. Dat leidt tot dezelfde contradictie als bij F-hoeken, dus is bewezen dat $\zeta$ en $\beta$ even groot zijn.

Bewijs van het omgekeerde 

Het bewijs hiervan gaat weer uit het ongerijmde:

Voor F-hoeken:

Noem $A$ en $B$ de snijpunten van de derde lijn met de eerste en de tweede lijn.

Veronderstel dat de eerste en de tweede lijn niet evenwijdig zijn, dan moeten zij elkaar vanwege het parallellenpostulaat, het vijfde postulaat van Euclides, in een punt $S$ snijden.

Noem $\alpha$ en $\beta$ de hoek tussen de twee eerste lijnen en de derde lijn, waarbij $\alpha =\angle {BAS}$ binnen $\triangle {ASB}$ ligt en $\beta$ er buiten.

$\beta =180^{\circ }-\alpha$, omdat het F-hoeken zijn, en $\gamma =\triangle {ASB}$.

$\gamma >0^{\circ }$, dus moet $\alpha +\beta =\alpha +180^{\circ }-\alpha <180^{\circ }$ zijn. De som van de drie hoeken in een driehoek is $180^{\circ }$.

Dat is onmogelijk. De veronderstelling kan daarom niet waar zijn en daarmee is de stelling voor F-hoeken bewezen.

Voor Z-hoeken:

Als voor twee gegeven lijnen twee Z-hoeken gelijk zijn, zijn er voor dezelfde twee lijnen ook twee F-hoeken hetzelfde.

Er volgt dan uit het bovenstaande dat het twee evenwijdige lijnen zijn.

Dit is een encyclopedie, geen leerboek. En dan nog, het lijkt me onnodig die bijna evidente redeneringen zo in extenso neer te schrijven. Madyno (overleg) 28 aug 2021 23:44 (CEST)

Ja, dat vind jij, dat heb je al een keer eerder gezegd. ChristiaanPR (overleg) 28 aug 2021 23:50 (CEST)

Indeling

Het bewijs hoort mi niet direct bij de uitleg wat F en Z betekenen, en komt daarom in een nieue alinea. Het plaatje over het parallellenpostulaat hoort bij het bewijs. De opmerking over het omgekeerde is geen onderdeel van nhet bewijs en komt daarom in een nieuwe alinea. Madyno (overleg) 29 aug 2021 12:26 (CEST)