In de wiskunde, meer bepaald in de analyse en de topologie, is een ophopingspunt, ook verdichtingspunt of limietpunt, van een verzameling een punt (niet noodzakelijk tot de verzameling behorend) waar in elke omgeving van dat punt, hoe klein die omgeving ook is, oneindig veel punten van de verzameling liggen. Punten van de verzameling hopen zich op in de buurt van het ophopingspunt; hoe dichter men het verdichtingspunt nadert, hoe dichter de punten van de verzameling opeen liggen. De verzameling moet natuurlijk een minimale structuur hebben, zodat van omgevingen kan worden gesproken. Ophopingspunten zijn gedefinieerd in topologische ruimten, of specifieker in metrische ruimten en euclidische ruimten.

Getallenrij

bewerken

Een oneindige rij in   (zie topologische ruimten met oneindig als element) heeft altijd een of meer ophopingspunten. Is er slechts één ophopingspunt, dan is de rij convergent met het ophopingspunt als limiet. De kleinste (eigenlijk het infimum) van de ophopingspunten heet de liminf van de rij; de grootste (het supremum) heet limsup.

Definitie

bewerken

Het punt   heet ophopingspunt van de verzameling   als in iedere omgeving van   nog een punt van   ligt, ongelijk aan  .

Is de verzameling   een metrische ruimte met metriek  , dan geldt voor een ophopingspunt   dat bij ieder getal   een element   is met  

Alternatief kan de definitie in dat geval ook in termen van een rij worden gegeven:

Het punt   heet ophopingspunt van de metrische ruimte  , als er een rij   in   bestaat, waarvan alle elementen   zijn en die naar   convergeert.

Voorbeelden

bewerken

Hieronder staan enkele eenvoudige voorbeelden van ophopingspunten.

Voorbeeld 1: Eén ophopingspunt

bewerken

Van de rij positieve natuurlijke getallen   is 0 het ophopingspunt.

 
De rij  

Voorbeeld 2: Twee ophopingspunten

bewerken

Een voorbeeld van meer dan één ophopingspunt is de rij  , met

 .

Deze rij heeft duidelijk twee convergente deelrijen: de deelrij van de even   en de deelrij voor de oneven  . De deelrijen   (bovenste rij) en   (onderste rij) convergeren respectievelijk naar 1 en −1. De rij   heeft dus twee ophopingspunten.

 
 
 
De rij  .

Voorbeeld 3: Oneindig als ophopingspunt

bewerken

De rij   met   bevat twee deelrijen   voor de even indices en   voor de oneven indices, die respectievelijk   en   als ophopingspunt hebben.

 
 
 
De rij