Tetrahedrale en octahedrale symmetrie

Tetrahedrale en octahedrale symmetrie en de bijbehorende pyritohedrale symmetrie omvatten vijf vormen van polyhedrale symmetrie, en wel de symmetrie van onder meer het viervlak of tetraëder en de kubus. Het eerste woord van elke symmetrie wordt ook wel eens zonder h geschreven, met dan de uitgang edrale of edrische, al of niet met trema.

• 
  chirale tetrahedrale symmetrie T van orde 12
• 
  pyritohedrale symmetrie T_h van orde 24
• 
  volledige tetrahedrale symmetrie T_d van orde 24
• 
  chirale octahedrale symmetrie O van orde 24
• 
  volledige octahedrale symmetrie O_h van orde 48

driehoekige hexaëder

Pyritoëder, met als vrijheidsgraad de lengte van de groene ribben; dit veelvlak heeft pyritohedrale symmetrie T_h, behalve als de ribben even lang zijn, dan is het een regelmatig twaalfvlak, dat meer symmetrie heeft. Als de groene ribben tweemaal zo lang zijn als de andere ontstaat een kubus, zie hieronder

Object met pyritohedrale symmetrie T_h: kubus met extra ribben

Deze vijf figuren geven een vooraanzicht van de bol die de symmetrie weergeeft. De rotatie-assen zijn daarbij met de kleine symbolen aangegeven, het fundamentele domein is geel en verbindende grote cirkels geven aan waar de eventuele spiegelvlakken de bol snijden. De figuren zijn in orthografische projectie getekend en tonen dus precies een halfrond. Alle rotatieassen en de aangegeven grote cirkels zijn ook van toepassing op dezelfde plaats aan de achterkant. Merk op dat een ellips geen grote cirkel voorstelt, maar twee halve grote cirkels aan de voorkant van de bol.

Dezelfde symmetrie kan ook op een driehoekige hexaëder of op een kubus worden geprojecteerd. Een driehoekige hexaëder is een catalanlichaam. Alle elementen van de symmetriegroep van de kubus zijn dus tetrahedraal, octahedraal of pyritohedraal.

De symmetrieën in de vijf figuren met een bol hebben gemeen dat ze allemaal vier assen van rotatiesymmetrie van orde 3 hebben. Ze hebben het volgende aantal punten waar ze het oppervlak van een convex object, er is in de afbeeldingen voor een bol gekozen, met de betreffende symmetrie snijden. Het aantal assen is steeds de helft:

• 8 van orde 3. De assen gaan bij de kubus door de hoekpunten. Anders gezegd: de snijpunten met een bol vormen de hoekpunten van een kubus.
• 0 of 6 van orde 4. De assen gaan bij de kubus door de middens van de zijvlakken.
• 6 of 12 van orde 2. De assen gaan bij de kubus door de middens van de ribben.

T_h heeft verder nog drie in blauw aangegeven spiegelvlakken, T_d zes die in rood zijn aangegeven, en O_h heeft ze allemaal.

De groepen $O_{h}$, $O$, $T_{d}$, $T_{h}$ en $T$ zijn de symmetriegroepen van de kubus met:

• voor $O_{h}$ blanco zijden
• voor $O$ op elk zijvlak dezelfde chirale figuur met rotatiesymmetrie van orde 4
• voor $T_{d}$ op elk zijvlak een diagonaal zo dat die samen een tetraëder vormen
• voor $T_{h}$ op elk zijvlak een lijnstuk dat de middens van twee tegenover elkaar liggende zijden verbindt, zodanig dat zulke lijnstukken elkaar niet raken; ook de symmetriegroep van een pyritoëder
• voor $T$ zowel het bij $T_{d}$ als $T_{d}$ genoemde

$T_{d}$ is de symmetrie van het viervlak en een archimedisch lichaam, de afgeknotte tetraëder. $T_{d}$ is algebraïsch de symmetrische groep $S_{4}$, want de elementen van $T_{d}$ komen 1-op-1 overeen met de permutaties van de 4 hoekpunten.

$T$ is algebraïsch de alternerende groep $A_{4}$, want de elementen van $T$ komen 1-op-1 overeen met de even permutaties van de 4 hoekpunten.

$T_{h}=T\oplus C_{i}$ en dus algebraïsch $A_{4}\times C_{2}$. De groep $T$ is niet alleen de chirale versie van $T_{d}$ maar ook van $T_{h}$.

$O_{h}$ is de symmetrie van de kubus, het regelmatige achtvlak of octaëder en vijf archimedische lichamen. Twee archimedische lichamen, namelijk de beide versies van de stompe kubus, zijn chiraal met $O$ als totale symmetriegroep. $O$ is algebraïsch de symmetrische groep $S_{4}$, waarbij de elementen 1-op-1 overeenkomen met de permutaties van de lichaamsdiagonalen van de kubus, $O_{h}=O\oplus C_{i}$ en dus algebraïsch $S_{4}\times S_{2}$. Behalve $O$ zijn ook $T_{d}$ en $T_{h}$, dus $T$, ondergroepen van $O_{h}$. De groep $T$ is een ondergroep van O.

Bronnen, noten en/of referenties