Modulair rekenen

(Doorverwezen vanaf Modulo)

Modulair rekenen, of rekenen modulo een getal, is een vorm van geheeltallig rekenen met een getal dat als bovengrens fungeert, de modulus. Een typisch voorbeeld is de klok waarop modulo 12, of modulo 24, gerekend wordt. Als het 6 uur is, dan staat de klok 8 uur later niet op 14, maar op 14 − 12 = 2 uur.

Bij modulair rekenen met modulus of rekenen modulo wordt gerekend met de getallen , waarna niet volgt maar weer opnieuw met 0 begonnen wordt. De getallen 0 tot en met staan als het ware in een kring. Het resultaat van een berekening modulo is de rest van het resultaat na geheeltallige deling door de modulus . De normale definities van optelling en vermenigvuldiging worden gebruikt, maar als het resultaat groter is dan of gelijk aan wordt net zo vaak afgetrokken tot het resultaat weer kleiner is dan . Getallen die modulo gelijk zijn, die dus een veelvoud van van elkaar verschillen, noemt men congruent modulo , genoteerd met het symbool . Bijvoorbeeld

De verzameling getallen waarmee modulo gerekend wordt, wordt aangeduid als , naar het symbool dat de verzameling gehele getallen aanduidt.

DefinitiesBewerken

Congruentie modulo mBewerken

Twee gehele getallen   en   heten congruent modulo het natuurlijke getal  , als hun verschil   een geheel veelvoud is van  . Dit wordt genoteerd als:

 .

Het getal   wordt de modulus genoemd.

De haakjes in de uitdrukking geven aan dat   van toepassing is op de hele vergelijking, en niet alleen op het rechterlid. Wel moet opgemerkt worden dat de haakjes om   ook wel worden weggelaten, waarbij verwarring kan ontstaan met de uitdrukking   zoals hieronder gedefinieerd.

EigenschapBewerken

Congruentie modulo   is een congruentierelatie, wat inhoudt dat het een equivalentierelatie is die compatibel is met de optelling en de vermenigvuldiging op de gehele getallen:

Als

  en  

dan

  en  

Modulo-operatieBewerken

De modulo-operatie is een binaire operatie   gedefinieerd voor natuurlijke getallen   en een positief geheel getal  , zodanig dat   de rest is van de deling van   door  , d.w.z. dat   een van de getallen   is waarvoor   een veelvoud van   is. Deze getallen   corresponderen met de equivalentieklassen van de congruentierelatie.

De definitie wordt wel uitgebreid voor het geval dat   of   negatief is.   kan dan negatief kan zijn, maar wel zo dat   een veelvoud van   is.

De operatie   wordt in de meeste programmeertalen met een % weergegeven, dus als a % m.[1] In spreadsheets wordt daarvoor meestal een functie gebruikt zoals MOD(a,m)[2] of REST(a;m).[3]

AlgebraBewerken

  •   is een veelvoud van  .
  •  
  • Als   geen veelvoud is van  , geldt
 
Bewijs 

Stel dat   en  .

 , dus  

 , dus is  , dus is het verschil tussen   en   een veelvoud van  .   is dus   plus of min een veelvoud van  .

 
Deze stelling wordt gebruikt bij het bewijs van de kleine stelling van Fermat.
Algemeen geldt:  
In het bijzondere geval dat   een priemgetal is, is   zelfs een lichaam (Ned) / veld (Be).
Bewijs dat (Z/mZ) een lichaam is als m een priemgetal is 

Een priemgetal   is relatief priem is met alle getallen   Met behulp van het uitgebreide algoritme van Euclides kunnen voor elke   getallen   en   gevonden worden, zodat  .

Er geldt   en verder dat  . Voor elke   is er dus een   met  .

ToepassingBewerken

Geheeltallig rekenen in digitale computers vindt doorgaans plaats modulo  , waarbij   het aantal bits is dat gebruikt wordt om een getal weer te geven.   is dan begrensd door het datatype, vaak de grootte van een processorregister.   heeft in een typisch modern computerprogramma de waarde 32 of 64. Niet-modulair rekenen wordt door sommige programmeertalen ondersteund, maar gaat ten koste van de rekensnelheid. Het teken voor de modulus is in veel programmeertalen het procentteken %.

Het Caesarcijfer, een vorm van encryptie, wordt op de manier van modulair rekenen geïmplementeerd.

In België heeft zowel een gestructureerde mededeling van een overschrijving, alsook het rekeningnummer en het rijksregisternummer als laatste twee cijfers een controlegetal dat modulo 97 congruent is met de voorgaande cijfers. Zo geldt bijvoorbeeld voor de gestructureerde mededeling +++090/9337/55493+++, dat aangeeft: 0909337554 ≡ 93 (mod 97). Ook in de IBAN wordt een modulo 97-berekening uitgevoerd om een tweecijferig controlegetal te berekenen.

VoorbeeldBewerken

Rekenen modulo 7 gebeurt met de getallen 0,1,...,6. De uitkomst van 4 + 5 is niet 9, maar 9 − 7 = + 2. Denkt men de getallen in een kring of herhaald, en telt men 5 verder vanaf het getal 4, dan komt men bij 2 uit.

Zo ook is 4 × 5 mod 7 = 6.

De onderstaande tabel geeft alle mogelijkheden voor de optelling modulo 7.

optelling modulo 7
+ 0 1 2 3 4 5 6
0 0 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6 0
2 2 3 4 5 6 0 1
3 3 4 5 6 0 1 2
4 4 5 6 0 1 2 3
5 5 6 0 1 2 3 4
6 6 0 1 2 3 4 5

Voor de vermenigvuldiging kan ook een tabel worden gemaakt.

vermenigvuldiging modulo 7
× 0 1 2 3 4 5 6
0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6
2 0 2 4 6 1 3 5
3 0 3 6 2 5 1 4
4 0 4 1 5 2 6 3
5 0 5 3 1 6 4 2
6 0 6 5 4 3 2 1

Omdat 7 een priemgetal is kan men met behulp van deze tabel ook delingen uitvoeren (zie ook onder). Wat is 5 : 4 modulo 7? Noem dit getal q, dan is 4 q ≡ 5 modulo 7. Uit de tabel kan men aflezen dat q = 3, dus 5 : 4 ≡ 3 modulo 7.

MachtsverheffenBewerken

Bij de machtsverheffing modulo   mogen alleen de grondtallen herleid worden, niet de exponenten. Zo is bijvoorbeeld:

 , omdat  ,
 , een voorbeeld van de kleine stelling van Fermat en
 , evident.

Wel geldt de volgende stelling van Euler: als het grondtal geen delers gemeen heeft met  , dan mag de exponent worden herleid modulo de indicator   van  .

Grote machtenBewerken

Machtsverheffen modulo   tot grote machten kan relatief gemakkelijk uitgevoerd worden met behulp van machtsverheffing door kwadrateren, aangezien

 

Om   uit te rekenen kunnen achtereenvolgens de machten  ,  ,   berekend worden. Omdat  , wordt de gevraagde macht bepaald als het product modulo 319 van de overeenkomstige machten.

Reële getallenBewerken

Naar analogie van modulair rekenen met gehele getallen waarbij veelvouden van een bepaald geheel getal   buiten beschouwing worden gelaten, kan men ook reële getallen optellen en aftrekken (en vermenigvuldigen met gehele getallen) waarbij veelvouden van een positief reëel getal   buiten beschouwing worden gelaten. Een voorbeeld is het rekenen met de tijd van de dag, waarbij veelvouden van 24 uur buiten beschouwing worden gelaten, en daarmee corresponderend, rekenen met hoeken, waarbij volledige omwentelingen buiten beschouwing worden gelaten. De groep met betrekking tot de optelling is de cirkelgroep  .

Bij de grootheid tijd is de tijd van de dag (de tijd in engere zin) de tijd in ruime zin modulo een dag.[4] Zo kan men een tijdsduur optellen bij een tijd van de dag, 3 uur en 20 minuten na het tijdstip 23:15 is het bijvoorbeeld 2:35. Om bij een halfuurdienst van een trein te bepalen hoe lang men moet wachten gaat het om de vertrektijd van de trein modulo een half uur en de kloktijd waarop men op het station is, modulo een half uur.