Methode van Jacobi

In de numerieke wiskunde is de methode van Jacobi, genoemd naar de Duitse wiskundige Carl Jacobi, een algoritme om iteratief een benaderde oplossing te vinden voor een stelsel van lineaire vergelijkingen. De methode van Jacobi is net als de Gauss-Seidel methode en de SOR-methode een speciale splitsingsmethode. De methode werd ontwikkeld, omdat Gauss-eliminatie weliswaar een exacte oplossing geeft, maar erg gevoelig is voor rekenfouten. Een iteratieve benadering heeft hier minder last van.

Methode bewerken

Bij de methode van Jacobi wordt de matrix   van het stelsel lineaire vergelijkingen

 

gesplitst in de hoofddiagonaal   en de rest:

 

De vergelijking kan dan geschreven worden als:

 

of, mits   inverteerbaar is, als

 

De iteratieve benadering van de oplossing verloopt via:

 

Uitgeschreven in de elementen van de matrices en de vectoren betekent dit voor het stelsel van   lineaire vergelijkingen met   onbekenden

 

dat het  -de element van de  -ste iteratie berekend wordt, uitgaande van een willekeurige startwaarde  , als:

 

Een minimale voorwaarde is dat de diagonaalelementen   ongelijk zijn aan 0. Voor de convergentie van de methode van Jacobi is strikte diagonale dominantie van de matrix   voldoende.

Referenties bewerken

Externe links bewerken