Logaritmische integraal

primitieve van 1/ln
(Doorverwezen vanaf Logaritmische integraalfunctie)

In de wiskunde is de logaritmische integraal of integraal logaritme een speciale functie. De logaritmische integraal komt voor bij problemen in de natuurkunde en heeft getaltheoretische betekenis, aangezien hij voorkomt in de priemgetalstelling als een schatting van het aantal priemgetallen minder dan een gegeven waarde.

Grafiek van de Logarithmische integraal

Definitie

bewerken

De logarithmische integraal is voor reële   gedefinieerd als de integraal:

 

waarin   de natuurlijke logaritme is.

De integrand heeft een singulariteit voor  , en voor   moet de integraal opgevat worden als een Cauchy-hoofdwaarde:

 

De logaritmische integraal is nauw verbonden met de exponentiële integraal  :

 .

Uit deze relatie kan een reeksontwikkeling voor de logaritmische integraal verkregen worden:

 

waarin   de constante van Euler-Mascheroni is.

Verschoven logarithmische integraal

bewerken

Een verschoven versie van de logarithmische integraal wordt wel aangeduid als de logarithmische integraal van Euler, voor   gedefinieerd als:

 

of als integraal:

 

Deze functie is een zeer goede benadering van de de priemgetal-telfunctie  , die het aantal priemgetallen voorstelt kleiner dan het getal