Nevenklasse

In de groepentheorie, een onderdeel van de abstracte algebra, is een nevenklasse binnen een groep $G$ een deelverzameling $gH$ of $Hg$ van $G$, die bestaat uit de producten van een element $g\in G$ en de elementen van een ondergroep $H$ van $G$. De nevenklasse $gH$ van $g$ ten opzichte van $H$ heet linkernevenklasse en de nevenklasse $Hg$ rechternevenklasse. De verschillende nevenklassen van $H$ zijn onderling disjunct en vormen een partitie van $G$. Het aantal elementen in een nevenklasse $gH$ of $Hg$ is gelijk aan het aantal elementen van de ondergroep $H$ zelf.

Definitie

Zij $G$ een groep, $H$ een ondergroep van $G$ en $g$ een element van $G$.

De linkernevenklasse $gH$ van $g$ ten opzichte van $H$ is de verzameling producten van elementen van $H$, links samengesteld met $g$:

$gH=\{gh\mid h\in H\}$.

De verzameling van alle linkernevenklassen van $H$ in $G$ noteert men gewoonlijk als $G/H$.

De rechternevenklasse $Hg$ van $g$ ten opzichte van $H$ is de verzameling producten van elementen van $H$, rechts samengesteld met $g$:

$Hg=\{hg\mid h\in H\}$.

De verzameling van alle rechternevenklassen van $H$ in $G$ noteert men gewoonlijk als $G\backslash H$

Equivalentierelatie

Nevenklassen zijn equivalentieklassen. Twee elementen $a$ en $b$ van de groep $G$ zijn equivalent als ze tot dezelfde nevenklasse $gH$ behoren.

$a\sim b$ als voor een $g\in G$: $a,b\in gH$

Dit komt erop neer dat er een $h\in H$ is zodanig dat:

$b=ah$

Alternatief geldt:

$a\sim b\Longleftrightarrow aH=bH\Longleftrightarrow b\in aH\Longleftrightarrow a^{-1}b\in H$

De linkernevenklassen zijn dus de equivalentieklassen van deze relatie.

Commutativiteit

Linker- en rechternevenklassen zijn in een commutatieve groep gelijk, maar kunnen in een groep die niet commutatief is verschillen. De normalisator van $H$ in $G$ is de verzameling elementen van $G$ waarvoor de betrokken linker- en rechternevenklasse identiek zijn.

Als de linker-en rechternevenklassen van een ondergroep $H$ identiek zijn voor alle elementen van $G$, heet $H$ een normaaldeler van $G$ en spreekt men kortweg van nevenklassen. In dat geval kan $G/H$ ook uitgerust worden met een groepsbewerking en wordt de factorgroep van $G$ over $H$ genoemd.

In een commutatieve groep zijn alle ondergroepen normaaldelers.

Voorbeelden

Voorbeeld in een abelse groep

Beschouw de veelvouden van 8 als ondergroep van de gehele getallen met de gewone optelling:

$8\mathbb {Z} =\{\ldots ,-16,-8,0,8,16,24,\ldots \}$

De nevenklasse van het getal 35 bestaat uit alle veelvouden van 8, plus 3:

$8\mathbb {Z} +35=8\mathbb {Z} +3=\{\ldots ,-5,3,11,19,27,35,\ldots \}$

Het is de restklasse van 3 (en van 35) bij deling door 8.

Voorbeeld in een niet-abelse groep

Beschouw de groep $SO(3)$ van de rotaties van de reële driedimensionale ruimte. Dit is een lie-groep, maar in dit voorbeeld speelt alleen de algebraïsche structuur een rol. Beschouw een orthonormaal coördinatenstelsel $(x,y,z)$ en noem $H$ de ondergroep van $SO(3)$ die bestaat uit de rotaties om de $z$-as. Noem $r$ de rotatie over een rechte hoek om de $y$-as die de $z$-as op de $x$-as afbeeldt, met behoud van de oriëntatie (de positieve zijde van de $z$-as wordt op de positieve zijde van de $x$-as afgebeeld).

De linkernevenklasse $rH$ bestaat uit alle rotaties die de $z$-as met behoud van oriëntatie op de $x$-as afbeelden. De rechternevenklasse $Hr$ bestaat uit alle rotaties die de $x$-as met omkering van de oriëntatie op de $z$-as afbeelden. Beide nevenklassen zijn van elkaar verschillend en hebben zelfs maar één element gemeenschappelijk, namelijk $r$ zelf.

De ondergroep $H$ is geen normaaldeler van $SO(3)$. De normalisator van $H$ in $SO(3)$ is $H$ zelf.

Cardinaliteit

De samenstelling met een vast element $g$ is een permutatie van $G$, dus alle nevenklassen van $H$ hebben evenveel elementen als $H$ zelf.

Voor eindige groepen geldt de stelling van Lagrange over de orde, het aantal elementen, van een ondergroep:

De orde van $G$ is het product van de orde van $H$ en het aantal nevenklassen van $H$ in $G$.

Dit is altijd, dus wanneer de linker- en rechternevenklassen samenvallen, maar ook wanneer zij verschillend zijn.