Hoofdmenu openen

Het lemma van Borel–Cantelli is een stelling in de kansrekening over een rij gebeurtenissen, genoemd naar de Franse wiskundige Émile Borel en de Italiaanse wiskundige Francesco Cantelli. Een generalisatie van het lemma is van toepassing in de maattheorie. Een aanverwant resultaat, dat een gedeeltelijke omkering is van het lemma, wordt wel het tweede lemma van Borel–Cantelli genoemd.

Het lemma zegt dat als de som van de kansen van een rij gebeurtenissen eindig is, niet oneindig veel van deze gebeurtenissen gelijktijdig kunnen optreden, althans niet met positieve kans. Voor dit resultaat is niet de onafhankelijkheid van de gebeurtenissen vereist.

Inhoud

LemmaBewerken

Als voor een rij gebeurtenissen   in een kansruimte de som van de kansen eindig is, dus:

 

dan is de kans dat oneindig veel van de gebeurtenissen gelijktijdig optreden 0, dat wil zeggen:

 

Hierin is limsup de limes superior van de rij gebeurtenissen:

 

dus bestaande uit de uitkomsten die oneindig vaak voorkomen in de rij.

BewijsBewerken

Als de som van de kansen eindig is, dus convergent is, moet:

 

Daaruit volgt:

 
 

VoorbeeldBewerken

Stel   is een rij stochastische variabelen waarvoor voor alle   geldt:

 .

Dan is:

 

Dus is volgens het lemma de kans dat oneindig veel van de gebeurtenissen   optreden gelijk aan 0, zodat met kans 1   ongelijk is aan 0, op ten hoogste een eindig aantal na.

OmkeringBewerken

De gedeeltelijke omkering van het lemma, van de hand van Paul Erdős en Alfréd Rényi, luidt: Als voor een rij gebeurtenissen   in een kansruimte de som van de kansen niet convergeert, dus:

 

en de gebeurtenissen onafhankelijk zijn, dan is de kans dat oneindig veel van de gebeurtenissen gelijktijdig optreden, gelijk aan 1, dat wil zeggen:

 

Deze omkering geldt ook nog als de gebeurtenissen slechts paarsgewijs onafhankelijk zijn, maar het bewijs is dan veel ingewikkelder.

GeneralisatieBewerken

Voor een algemene maatruimte   luidt de generalisatie van het lemma:

Als voor een rij meetbare deelverzamelingen   van   geldt:

 

dan is