Laplacetransformatie

(Doorverwezen vanaf Laplace-getransformeerde)

De laplacetransformatie, genoemd naar Pierre-Simon Laplace, is een wiskundige techniek die wordt gebruikt voor het oplossen van lineaire integraal- en differentiaalvergelijkingen. In de elektrotechniek en regeltechniek is de laplacetransformatie een zeer nuttig gereedschap bij het doorrekenen van in- en uitschakelverschijnselen, oftewel niet-stationaire verschijnselen. De laplacetransformatie is een belangrijk voorbeeld van een integraaltransformatie.

DefinitieBewerken

Stel   is een complexwaardige functie van de reële variabele  , gedefinieerd voor  . Onder de laplacegetransformeerde van   verstaat men de functie  , gedefinieerd voor complexe   door:

 ,

mits de integraal bestaat.

Omdat   in veel toepassingen een functie van de tijd is, wordt   wel de tijdfunctie genoemd. De laplacegetransformeerde   heet wel de beeldfunctie.

NotatieBewerken

Voor de eenvoud van notatie schrijft men hier en in het vervolg soms:

  in plaats van  

om duidelijk te kunnen aangeven welke functie   bedoeld wordt.

Causale functiesBewerken

De integratie wordt soms ook gerekend vanaf   in plaats van 0. Er wordt dan stilzwijgend aangenomen dat   causaal is, wat inhoudt dat   voor  .   kan dan worden opgevat als een tijdsafhankelijke respons op een excitatie-functie die ook gelijk is aan nul voor  .

ConvergentieBewerken

De laplacegetransformeerde is niet altijd convergent (en dus niet altijd gedefinieerd): de laplacegetransformeerde van   bestaat voor een bepaalde waarde van het complexe getal   als bovenstaande integraal convergeert voor deze waarde. Als de integraal convergeert voor een reëel getal  , convergeert hij voor alle complexe getallen   met  . Het kleinste reële getal   waarvoor de integraal convergeert voor alle   met   (indien dit bestaat) heet de convergentieabscis.

De laplacegetransformeerden van   en zijn reële deel   zijn bijvoorbeeld niet convergent voor zuiver imaginaire  .

Voor de bruikbaarheid van de laplacetransformatie hoeft deze niet voor alle   te bestaan. De inverse transformatie biedt bijvoorbeeld keuzemogelijkheden wat betreft het integratiepad, zie hieronder.

De onderstaande formule

 

geldt bijvoorbeeld voor  .

InverseBewerken

De inverse laplacetransformatie kan via een complexe integraal gevonden worden. Voor   is

 ,

mits in het oneindig   naar 0 gaat ten minste zo snel als  .   is het grootste reële deel van de singulariteiten van  , zodat het integratiepad binnen het convergentiegebied van   ligt, en de integraal voor   niet van   afhangt.

Vaak echter wordt de laplacegetransformeerde geschreven als een lineaire combinatie van laplacegetransformeerden van bekende functies. De oorspronkelijke functie is dan dezelfde lineaire combinatie van de betrokken bekende functies.

Als de laplacegetransformeerde een rationele functie is, kan deze door breuksplitsen geschreven worden als een som van bekende laplacegetransformeerden. Het eenvoudigste geval is dat waarbij de noemer geen complexe of meervoudige nulpunten heeft. De getransformeerde kan dan, met   de reële nulpunten van de noemer, geschreven worden als:

 ,

zodat de gezochte inverse functie   gevonden wordt als:

 

VoorbeeldBewerken

De getransformeerde van de functie   is gelijk aan

 

De nulpunten van de noemer zijn verschillend en reëel; breuksplitsing levert:

 

De originele functie is dus:

 , voor  

EigenschappenBewerken

De volgende eigenschappen kunnen aangetoond worden (na substituties, merk op dat hierbij de integratiegrenzen niet aangepast dienen te worden):

 
  • Verschuiving in het tijd-domein
 
waarbij indien  ,   voor   op 0 gesteld wordt, en bij   voorwaarde is dat   voor   (het verschuiven voegt niet binnen het domein vanaf 0 een stuk functie dat niet nul is toe, en laat ook niet een stuk functie dat niet nul is daaruit verdwijnen)
  • Verschuiving in het laplace-domein
 
  • Schaling in het tijd-domein
 
  • Getransformeerde van de afgeleide
 
Indien   niet continu is in  , dan is
 
Als   niet continu is in  , is
 
Algemeen voor hogere afgeleiden
 
  • Getransformeerde van de primitieve
 
  • Getransformeerde van  
 
  • Getransformeerde van  
 
  • Periodieke functies ( )
 
  • Beginwaardestelling
 
  • Eindwaardestelling
 
  • Gedrag voor   naar oneindig
 
 

Verband met andere transformatiesBewerken

FouriertransformatieBewerken

De continue fouriertransformatie is equivalent met de tweezijdige laplace-integraal, indien als argument   genomen wordt:

 

Met Z-transformatieBewerken

Laplacegetransformeerden van enkele functiesBewerken

 
 
  waarbij Γ staat voor de gammafunctie
  waarbij  
 
 
 
 
 
  waarbij   staat voor de constante van Euler.

Laplacegetransformeerden van speciale functiesBewerken

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
met   de entierfunctie, dus het grootste gehele getal dat kleiner of gelijk is aan  .

Verband met differentiaalvergelijkingenBewerken

Nemen we de volgende lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten als voorbeeld (  is een bekende functie):

 ,

we transformeren de beide leden, waarbij alle beginvoorwaarden nul worden gekozen (de zogenaamde nultoestand, of zero state):

 ,

waaruit volgt:

 

hierbij is   de overdrachtsfunctie. Aangezien   een bekende functie is, is ook zijn laplacegetransformeerde bekend, en daarmee ook de getransformeerde van  ,  . We berekenen de inverse van  , en vinden de gezochte oplossing  .

Maar ook indien de beginvoorwaarden niet nul zijn kan een lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten via de laplacetransformatie worden opgelost. Voorbeeld:

 

met als beginvoorwaarde:  .

De laplacetransformatie levert:

 

Door hieruit   af te zonderen, en vervolgens de inverse laplacetransformatie te nemen vindt men de oplossing  :

 

Zie ookBewerken