Karakteristieke impedantie

De karakteristieke impedantie is een begrip uit de elektrotechniek, waarmee de impedantie wordt aangeduid van een HF transmissielijn indien deze een oneindige lengte zou hebben.

De karakteristieke impedantie wordt van belang als de golflengte van het getransporteerde signaal gering is, vergeleken bij de lengte van de kabel. Bij audioverbindingen in een stereotoren (golflengte vanaf 15 km) is ze dus onbelangrijk. Dat wordt anders bij antennekabels (golflengte minder dan een meter).

De karakteristieke impedantie is behalve van de lijnparameters, ook afhankelijk van de frequentie van het aangesloten signaal. Volgend uit de telegraafvergelijkingen heeft een transmissielijn bij een signaal met hoekfrequentie $\omega$ een karakteristieke impedantie $Z_{0}$ gegeven door:

Z_{0}={\sqrt {\frac {r+j\omega l}{g+j\omega c}}}

Daarin is:

$l$ de zelfinductiecoëfficiënt per lengte-eenheid, in henry per meter (H/m)
$c$ de capaciteit per lengte-eenheid, in farad per meter (F/m)
$r$ de serieweerstand per lengte-eenheid, in ohm/m)
$g$ de parallelgeleiding per lengte-eenheid, in siemens per meter (S/m)
$Z_{0}$ de karakteristieke impedantie van de kabel, in ohm (Ω).

Is de lijn verliesvrij ( $r=0,g=0$ ), dan is de karakteristieke impedantie onafhankelijk van de frequentie:

Z_{0}={\sqrt {\frac {l}{c}}}

Om vermogensverlies en storingen door reflecties te voorkomen, is het belangrijk dat een transmissielijn wordt afgesloten met een weerstand gelijk aan de karakteristieke impedantie. Wordt een transmissielijn met lengte $L$ aan het uiteinde afgesloten met een impedantie $Z_{L}$ die afwijkt van de karakteristieke impedantie, dan zal aan het begin een impedantie $Z_{i}$ waargenomen worden volgens:

Z_{i}=Z_{0}{\frac {Z_{L}+Z_{0}\tanh(\gamma L)}{Z_{0}+Z_{L}\tanh(\gamma L)}}

Daarin is $\gamma$ de voortplantingscoëfficiënt van de transmissielijn.

Verliesvrije lijn bewerken

Voor een verliesvrije lijn is $\gamma =j\omega {\sqrt {lc}}=j\beta$ , zodat dan;

Z_{i}=Z_{0}{\frac {Z_{L}+Z_{0}\tan(\beta L)}{Z_{0}+Z_{L}\tan(\beta L)}}

.

Daarin is $\beta$ de fasecoëfficiënt.

Kwart-lambdalijn bewerken

Een speciaal geval is ook de zogenaamde kwart-lambdalijn, een verliesvrije transmissielijn met een lengte gelijk aan een kwart van de golflengte van het signaal. Aangezien:

\beta \lambda =2\pi

,

is:

\cos(\beta L)=\cos \left(\beta {\frac {\lambda }{4}}\right)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)=0

,

zodat:

Z_{i}=Z_{0}{\frac {Z_{L}\cos(\beta L)+Z_{0}\sin(\beta L)}{Z_{0}\cos(\beta L)+Z_{L}\sin(\beta L)}}={\frac {Z_{0}^{2}}{Z_{L}}}

Half-lambdalijn bewerken

Een ander speciaal geval is de zogenaamde half-lambdalijn, een verliesvrije transmissielijn met een lengte gelijk aan de helft van de golflengte van het signaal. Dan is

\sin(\beta L)=\sin \left(\beta {\frac {\lambda }{2}}\right)=\sin(\pi )=0

,

zodat:

Z_{i}=Z_{0}{\frac {Z_{L}+Z_{0}\tan(\beta {\frac {\lambda }{2}})}{Z_{0}+Z_{L}\tan(\beta {\frac {\lambda }{2}})}}=Z_{L}

Bepaling bewerken

Meestal zal men niet aan een oneindig lange lijn meten om de karakteristieke impedantie te bepalen. Er blijken echter twee eenvoudige metingen aan een lijn mogelijk te zijn om de karakteristieke impedantie te kunnen bepalen.

Kortgesloten lijn bewerken

Een lijn die aan het einde is kortgesloten, dus met $Z_{L}=0$ , zal een ingangsimpedantie hebben van:

Z_{\text{kort}}=Z_{0}{\frac {Z_{L}+Z_{0}\tanh(\gamma L)}{Z_{0}+Z_{L}\tanh(\gamma L)}}=Z_{0}\tanh(\gamma L)

Open lijn bewerken

Is de lijn aan het uiteinde open, dat wil zeggen onbelast, dus met $Z_{L}=\infty$ , dan zal de ingangsimpedantie gelijk zijn aan:

Z_{\text{open}}=Z_{0}{\frac {1+{\frac {Z_{0}}{Z_{L}}}\tanh(\gamma L)}{{\frac {Z_{0}}{Z_{L}}}+\tanh(\gamma L)}}={\frac {Z_{0}}{\tanh(\gamma L)}}

De karakteristieke impedantie kan dus via twee eenvoudige metingen berekend worden als:

Z_{0}={\sqrt {Z_{\text{kort}}Z_{\text{open}}}}