Hoofdmenu openen

Inverse laplacetransformatie

(Doorverwezen vanaf Inverse Laplacetransformatie)

De inverse laplacetransformatie is een wiskundige transformatie die van de laplacegetransformeerde van een functie de oorspronkelijke functie bepaalt. De inverse transformatie wordt gebruikt om wiskundige en technische, tijdsafhankelijke problemen op te lossen.

Veel vraagstukken waarin differentiaal- en integraalvergelijkingen voorkomen, kunnen opgelost worden door ze eerst via de laplacetransformatie om te zetten in wiskundig eenvoudiger vergelijkingen die in veel gevallen opgelost kunnen worden via bekende algebraïsche methoden. De oplossing(en) van deze vergelijkingen worden dan naar de oorspronkelijke tijdsfunctie omgezet via een inverse laplacetransformatie.

DefinitieBewerken

Zij   een gegeven tijdsfunctie dan wordt per definitie de beeldfunctie,  , via laplacetransformatie bepaald door:

 

De oorspronkelijke tijdsfunctie kan bepaald worden door de inverse laplacetransformatie toe te passen op deze beeldfunctie:

 

Om de oorspronkelijke tijdsfunctie te bepalen aan de hand van bovenstaande definitie is het dus nodig om een complexe integraal te berekenen. Om die reden wordt in veel gevallen beroep gedaan op eenvoudiger methoden.

Bepalen van de inverse laplacetransformatieBewerken

Gebruik van tabellenBewerken

Eenvoudige beeldfuncties   kunnen door het gebruik van conversietabellen onmiddellijk omgezet worden in de gezochte tijdsfunctie  . Deze tabellen zijn beschikbaar in wiskundige, natuurkundige of engineering-vademecums. Ook via het internet worden veel tabellen aangeboden. Een aantal functies kan gevonden worden via de voorbeelden in de pagina laplacetransformatie.

Omzetting door gebruik te maken van de eigenschappen van de laplacetransformatieBewerken

Indien de beeldfunctie niet rechtstreeks gevonden wordt in een tabel, kan door toepassing van de eigenschappen van de laplacetransformatie de tijdsfunctie op een indirecte manier samengesteld worden.

Voorbeeld

Gezocht wordt de inverse van

 

Deze beeldfunctie is verschoven:

 

met

 ,

dus

 

Daarin is

 

Het probleem is nu herleid tot de het vinden van de inverse van de eenvoudiger functie  :

 

en bijgevolg is:

 

PartieelbreukenBewerken

Elke rationale functie van de vorm  , waarbij   en   veeltermfuncties zijn en waarbij de graad van   kleiner is dan de graad van N(s), kan geschreven worden als een som van rationale functies, bijvoorbeeld met behulp van breuksplitsing. Deze rationale functies zijn van de vorm:

 

Elke deelterm van deze bekomen functie kan via tabellen of andere methoden eenvoudig omgezet worden. De partieelbreuken-methode maakt gebruik van de lineariteitseigenschap van de laplacetransformatie.

Formule van HeavisideBewerken

Van een gegeven rationale functie   bepalen we eerst de nulpunten van  :

 

Met de formule van Heaviside kunnen we   berekenen uit:

 

Hierbij is:

 

Gebruik van reeksenBewerken

Als de gegeven beeldfunctie via reeksontwikkeling omgezet kan worden in een Taylorreeks, dan kan men de inverse laplacetransformatie bepalen door van elke term afzonderlijk de inverse laplacefunctie te bepalen (lineariteitseigenschap):

 
 

Gebruik van de convolutiestellingBewerken

Als

 

Dan is

 

Combinatie van bovenstaande methodesBewerken

In de meeste gevallen kunnen we door een combinatie van bovenstaande methodes snel tot een oplossing komen.

voorbeeld:
 
 
 
 

Zie ookBewerken