Hoofdmenu openen

Indicator (getaltheorie)

getaltheorie

In de getaltheorie is de indicator of totiënt van een positief natuurlijk getal , genoteerd als , het aantal positieve natuurlijke getallen kleiner dan of gelijk aan die onderling ondeelbaar zijn met . Zo is bijvoorbeeld , omdat van elk van de vier oneven getallen 1, 3, 5 en 7 de grootste gemene deler met 8 gelijk is aan 1 en daarom onderling ondeelbaar met 8 worden genoemd. Voor een priemgetal is .

De indicator wordt veelal in verband gebracht met de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler, die deze functie uitgebreid bestudeerde.

De indicator geeft ook de omvang aan van de multiplicatieve groep van natuurlijke getallen modulo . Meer precies is de orde van de vermenigvuldigingsgroep van de omkeerbare elementen in de ring . Dit feit, samen met de stelling van Lagrange over de orde van een deelgroep, geeft een bewijs voor de stelling van Euler.

Inhoud

Berekening van de indicatorBewerken

Uit de definitie volgt dat   en   voor priemgetallen  . Bovendien is   een multiplicatieve functie: als   en   onderling ondeelbaar zijn, is  . (Schets van het bewijs: Zij   de verzameling residuklassen modulo-en-onderling-ondeelbaar-tot   respectievelijk; dan is er een bijectie tussen   en   via de Chinese reststelling.)

De waarde van   kan dus berekend worden met de hoofdstelling van de rekenkunde. Als

 

waarin de   verschillende priemgetallen zijn, dan is

 

Deze laatste formule is een euler-product en wordt meestal geschreven als

 

met het product over alle priemgetallen   die deler zijn van  .

Andere eigenschappenBewerken

Het getal   is ook gelijk aan het aantal generators van de cyclische groep  . Omdat ieder element van   een cyclische deelgroep genereert en de deelgroepen van   van de vorm   zijn waarin   deler is van   (geschreven als  ), geldt:

 

waarin de som zich uitstrekt over alle positieve delers   van  .

Met behulp van de möbius-inversieformule kan deze som omgedraaid worden om een andere formule te krijgen voor  

 ,

waarin   de gebruikelijke möbiusfunctie gedefinieerd over de positieve natuurlijke getallen.

Als   onderling ondeelbaar is met  , d.w.z  , dan is

 

Voortbrengende functiesBewerken

Een Dirichlet-reeks met   is

 

Een Lambert-rij voortbrengende functie is

 ,

geldig voor alle  .

Groei van de functieBewerken

De groei van   als een functie van   is een interessante vraag, omdat de eerste indruk dat   bij een kleine   veel kleiner is dan   ietwat misleidend is. Asymptotisch geldt

 

voor iedere   en  . Het quotiënt:

 

kan via bovenstaande formule geschreven worden als het product van factoren

 

over de priemgetallen   die   delen. Uit de priemgetalstelling kan aangetoond worden dat voor constante   dit vervangen kan worden door

 

Dit is ook waar in het gemiddelde:

 

waarin de grote O een Landau-symbool is.

Enkele functiewaardenBewerken

 
Grafiek van de eerste 100 waarden van de Eulerfunctie. De waarden op de bovenste lijn behoren bij de priemgetallen.
n φ(n) n φ(n) n φ(n) n φ(n) n φ(n) n φ(n) n φ(n) n φ(n)
1 1 11 10 21 12 31 30 41 40 51 32 61 60 71 70
2 1 12 4 22 10 32 16 42 12 52 24 62 30 72 24
3 2 13 12 23 22 33 20 43 42 53 52 63 36 73 72
4 2 14 6 24 8 34 16 44 20 54 18 64 32 74 36
5 4 15 8 25 20 35 24 45 24 55 40 65 48 75 40
6 2 16 8 26 12 36 12 46 22 56 24 66 20 76 36
7 6 17 16 27 18 37 36 47 46 57 36 67 66 77 60
8 4 18 6 28 12 38 18 48 16 58 28 68 32 78 24
9 6 19 18 29 28 39 24 49 42 59 58 69 44 79 78
10 4 20 8 30 8 40 16 50 20 60 16 70 24 80 32

Zie ookBewerken

ReferentiesBewerken