Homotopie-equivalentie

(Doorverwezen vanaf Homotopie)

In de topologie, die eigenschappen van ruimten bestudeert die bij continue vervorming ongewijzigd blijven, heten twee continue functies tussen een paar topologische ruimten homotopie-equivalent of homotoop-equivalent (Grieks homos = identiek en topos = plaats) als de ene door "continue vervorming" in de andere kan overgaan. Het begrip homotopie geeft een exacte betekenis aan het intuïtieve idee van continue vervorming. Zo'n vervorming wordt een homotopie genoemd. Het begrip wordt gebruikt in de definitie van homotopiegroepen en cohomotopiegroepen, en van belangrijke invarianten in de algebraïsche topologie.

Een homotopie waar een koffiekopje overgaat in een torus.

Homotopie van afbeeldingenBewerken

Laat   en   twee continue afbeeldingen zijn tussen twee topologische ruimten   en  . Een homotopie tussen   en   is een continue afbeelding

 

zodat de beperking van   tot   samenvalt met  , en de beperking van   tot   samenvalt met  , in die zin dat

  en  .

Hierbij draagt het gesloten reële interval   de gebruikelijke topologie, en is het cartesisch product voorzien van de producttopologie.

De functie   bepaalt dus werkelijk een continue overgang van   in  , geparametriseerd door een reëel getal tussen 0 en 1.

De afbeeldingen   en   heten homotopie-equivalent of kortweg homotoop als er een dergelijke homotopie   bestaat.

VoorbeeldenBewerken

De afbeelding   is homotoop met de constante afbeelding  . Een mogelijke homotopie is

 

Zij   met de discrete topologie, dat wil zeggen alle deelverzamelingen van   zijn open. De identieke transformatie van   is niet homotoop met de constante afbeelding op  . Veronderstel namelijk dat er een homotopie   zou bestaan. Dan is de beperking van   tot   een continue afbeelding van een samenhangende ruimte naar een discrete ruimte, dus constant. Maar deze beperking neemt de waarde   aan in het begin van het interval, en   op het einde van het interval: een contradictie.

Homotopie van padenBewerken

Een interessant bijzonder geval is dat waarbij   zelf het gesloten interval   is, zoals in het eerste voorbeeld hierboven. Een continue afbeelding van   naar   noemt men een pad in ' .

 
Een homotopie   tussen twee paden   en   in een topologische ruimte  

De fundamentaalgroep van   bestaat uit equivalentieklassen van de relatie "is homotoop met" in alle gesloten paden met een gegeven begin- en eindpunt   van  .

Homotopie van topologische ruimtenBewerken

Twee topologische ruimten heten homotopie-equivalent of homotoop als er continue afbeeldingen

 
 

bestaan, zodat de samenstelling   homotoop is met de identieke transformatie van  , en bovendien   homotoop is met de identieke transformatie van  .

Homeomorfe topologische ruimten zijn steeds homotopie-equivalent: neem voor   een homeomorfisme, en   zijn omgekeerde.

Het omgekeerde is niet waar: er bestaan paren van homotopie-equivalente ruimten die niet homeomorf zijn, bijvoorbeeld een punt en een cirkelschijf.

Een topologische ruimte heet samentrekbaar als het homotoop is met een singleton, of anders gezegd, als de identieke transformatie homotoop-equivalent is met een constante afbeelding op één punt van de ruimte.

De gesloten en open bollen van   zijn allemaal samentrekbaar: door een schaalfactor   is de identieke transformatie homotoop-equivalent met de constante afbeelding op het middelpunt van de bol.

De sfeer in   (de rand van de eenheidsbol) is nooit samentrekbaar.