Tweeplaatsige relatie

(Doorverwezen vanaf Homogene tweeplaatsige relatie)

In de wiskunde koppelt een tweeplaatsige relatie of binaire relatie tussen twee verzamelingen elementen van de ene verzameling aan elementen van de andere. Anders geformuleerd is een tweeplaatsige relatie de wiskundige beschrijving van een zeker verband tussen de objecten van twee verzamelingen. Een tweeplaatsige relatie is een relatie met een plaatsigheid twee.

Schematische weergave van een tweeplaatsige relatie. De punten in de cirkels geven objecten aan en de lijnen tussen de punten geven aan welke objecten met elkaar in relatie staan.

Tweeplaatsige relaties worden vaak eenvoudigweg relatie genoemd. Historisch gezien werden met relaties oorspronkelijk alleen tweeplaatsige relaties aangeduid, maar het begrip is later uitgebreid.

InleidingBewerken

Een intuïtief alledaags voorbeeld van een tweeplaatsige relatie is het begrip 'bezitten'. De tweeplaatsige relatie bezitten koppelt mensen aan objecten, oftewel elementen uit de verzameling van alle mensen aan elementen uit de verzameling van alle objecten. De koning wordt door deze relatie aan de kroon gekoppeld en als Dirk en Anna samen een huis gekocht hebben, dan worden zij beiden aan dat huis gekoppeld. Mensen die niets bezitten worden door de relatie bezitten nergens aan gekoppeld. De koppeling is in zekere zin dus gericht.

Tweeplaatsige relaties zijn in de wiskunde alomtegenwoordig. Voorbeelden zijn de ongelijkheid en deelbaarheid in de rekenkunde en congruentie in de meetkunde. Daarnaast wordt functie, een van de belangrijkste begrippen in de wiskunde, meestal gedefinieerd als een speciaal geval van een tweeplaatsige relatie. Andere exacte wetenschappen passen tweeplaatsige relaties ook veelvuldig toe, in uiteenlopende gebieden. Ze worden in de informatica onder andere gebruikt in het relationele model voor databases, maar ook in de economie, biologie, natuurkunde en andere wetenschappen worden diverse fenomenen met tweeplaatsige relaties gemodelleerd.

Tweeplaatsige relaties liggen aan de basis van de ordetheorie. Een ordening op een verzameling is pas bepaald als de orde tussen ieder paar elementen bekend is of bekend is dat die twee elementen niet met elkaar kunnen worden vergeleken.

DefinitieBewerken

Een tweeplaatsige relatie   tussen de verzamelingen   en   is een 3-tupel   waarin

 ,

dus waarin   een deelverzameling is van het cartesisch product van   en  . Alternatief wordt een tweeplaatsige relatie wel gedefinieerd als het 3-tupel   in plaats van  .

Als   spreekt men van een homogene relatie, of van een endorelatie.

Als expliciet vermeld wordt, of uit de context duidelijk is, uit welke verzamelingen de leden van de geordende paren komen, wordt een tweeplaatsige relatie soms eenvoudiger gedefinieerd als een verzameling geordende paren, overeenkomend met   uit de definitie.

In sommige systemen van de axiomatische verzamelingenleer worden relaties gedefinieerd op klassen in plaats van verzamelingen. Deze aanpassing is onder andere nodig om de begrippen is een element van en is een deelverzameling van te kunnen beschrijven, zonder dat dit tot de russellparadox leidt.

TerminologieBewerken

Van een tweeplaatsige relatie   tussen de verzamelingen   en   wordt   wel aangeduid als de bron(verzameling) en   als de doelverzameling of kort als het doel. De verzameling   heet de grafiek van  . In de theorie over relaties worden de verzamelingen   en   ook wel aangeduid als de domeinen van  , wat een zekere verwarring schept met het begrip domein als de deelverzameling   van   met de elementen waarvoor   gedefinieerd is (dat kan een strikte deelverzameling van   zijn). De verzameling   wordt ook wel het codomein van   genoemd.

Men zegt ook wel dat   een relatie over   en   is. Van een tweeplaatsige relatie   wordt gezegd dat   een tweeplaatsige relatie op   is of dat   een tweeplaatsige relatie over   is.

Van het geordende paar   worden   en   argumenten van   genoemd. Daarbij is   een linker argument en   een rechter argument. Verder zegt men in dit geval dat   in  -relatie staat tot  . Als uit de context duidelijk is welke relatie wordt bedoeld, zegt men ook dat   in relatie tot   staat. Als de definitie gebruikt wordt waarbij een tweeplaatsige relatie een verzameling geordende paren is, zegt men dat   in relatie tot   staat als  .

De lege relatie over   en   is de tweeplaatsige relatie tussen   en   waarvan de grafiek de lege verzameling is. Als   de lege relatie tussen   en   is, geldt dat er geen   en   zijn zodanig dat   in   in relatie tot   staat.

De universele relatie tussen   en   is de tweeplaatsige relatie waarvan de grafiek het cartesisch product van   en   is. Als   de universele relatie tussen   en   is, geldt voor alle   en   dat   in   in relatie tot   staat.

NotatieBewerken

De uitspraak '  staat in relatie   tot  ' wordt op verschillende manieren genoteerd:

  • functienotatie:  
  • infixnotatie:  
  • Poolse notatie:  

De functienotatie komt overeen met de indicatorfunctie van de grafiek van  .

VoorbeeldBewerken

Oceanen en werelddelen
NA ZA AF EU AZ AU AA
Indische Oceaan 0 0 1 0 1 1 1
Noordelijke IJszee 1 0 0 1 1 0 0
Atlantische Oceaan 1 1 1 1 0 0 1
Stille Oceaan 1 1 0 0 1 1 1
 
Oceanen en werelddelen

Geef in een tweeplaatsige relatie   weer welke oceanen in de wereld aan welke werelddelen liggen.

 Indische Oceaan, Noordelijke IJszee, Atlantische Oceaan, Stille Oceaan   zijn de oceanen en
  Noord-Amerika, Zuid-Amerika, Afrika, Europa, Azië, Australië, Antarctica   de werelddelen in de wereld.
  betekent dat oceaan   tegen werelddeel   aan ligt (op basis van de infixnotatie   is   dus 'ligt aan tegen'). De overeenkomende incidentiematrix is:

 

De verzameling paren is:

 Indische Oceaan, Afrika Indische Oceaan, Azië Indische Oceaan, Australië 
 Indische Oceaan, Antarctica Noordelijke IJszee, Noord-Amerika Noordelijke IJszee, Europa 
 Noordelijke IJszee, Azië Atlantische Oceaan, Noord-Amerika Atlantische Oceaan, Zuid-Amerika 
 Atlantische Oceaan, Afrika Atlantische Oceaan, Europa Atlantische Oceaan, Antarctica 
 Stille Oceaan, Noord-Amerika Stille Oceaan, Zuid-Amerika Stille Oceaan, Azië 
 Stille Oceaan, Australië Stille Oceaan, Antarctica 

Deze tweeplaatsige relatie is noch een functie, noch een afbeelding.

Eigenschappen van tweeplaatsige relatiesBewerken

Een tweeplaatsige relatie   tussen   en   heet:

  • links-volledig: als voor alle   er een   is, zodanig dat  .
  • surjectief of rechts-volledig: als voor alle   er een   is, zodanig dat  .
  • injectief of links-definiet: als geen twee verschillende linkerargumenten van   in relatie staan tot hetzelfde rechterargument van  . Dat wil zeggen dat voor alle   en   geldt: als   en    dan  .
  • rechts-definiet of functioneel: als geen enkel linkerargument van   in relatie staat tot twee verschillende rechter argumenten van  . Een andere beschrijving van dezelfde eigenschap is dat ieder linkerargument van   in relatie staat tot ten hoogste één rechterargument van  . Beide omschrijvingen willen zeggen dat voor alle   en   geldt: als   en   dan  .
  • bijectief of een-eenduidig: als   zowel surjectief als injectief is, of anders gezegd links-volledig, rechts-volledig, links-definiet en rechts-definiet is.

Een links-volledige rechts-definiete tweeplaatsige relatie over   en   wordt een afbeelding van   naar   genoemd. Een afbeelding waarvan het het codomein een lichaam (Ned) / veld (Be) is, is een functie.

Een tweeplaatsige relatie die links- en rechts-volledig is wordt een correspondentierelatie genoemd, maar is niet noodzakelijk functioneel. De combinatie van functionaliteit en injectiviteit wordt een-eenduidigheid of een-op-een genoemd, maar is noch noodzakelijk links-volledig, noch rechts-volledig. Een bijectieve tweeplaatsige relatie wordt meestal een bijectie genoemd, maar ook een een-op-een-correspondentie. Het verschil tussen een-op-een en correspondentie wordt niet altijd gemaakt. Het verschil is dus dat in een bijectie de beide verzamelingen   en   evenveel elementen hebben en dat alle elementen uit beide verzamelingen met een element van de andere verzameling zijn gekoppeld en dat in een functionele en injectieve tweeplaatsige relatie er elementen in   en   kunnen voorkomen, die niet aan een element uit de andere verzameling zijn gekoppeld.

Voorbeelden van bijecties zijn het isomorfisme is in de algebra en het homeomorfisme in de topologie. Bijecties worden in wiskundige bewijzen geconstrueerd om uiteenlopende feiten aan te tonen. Een voorbeeld hiervan is het aantonen van de gelijkmachtigheid van twee verzamelingen. Twee verzamelingen zijn namelijk gelijkmachtig als er een bijectie tussen deze verzamelingen bestaat.

Operaties op tweeplaatsige relatiesBewerken

Aangezien relaties in wezen verzamelingen zijn, laten operaties op verzamelingen zich op natuurlijke wijze uitbreiden tot relaties. Laat   en   tweeplaatsige relaties tussen   en   zijn.

Doorsnede en verenigingBewerken

  Zie Doorsnede (verzamelingenleer) en Vereniging (verzamelingenleer) voor de hoofdartikelen over dit onderwerp.

Als   en   zowel in   als in   tot elkaar in relatie staan, ligt het voor de hand te zeggen dat zij tot elkaar in de doorsnede van de beide relaties staan. En omgekeerd zullen elementen die in de doornede tot elkaar in relatie staan, ook tot elkaar in de beide relaties afzonderlijk staan.

De doorsnede van   en   is de tweeplaatsige relatie   tussen   en   waarvoor geldt:

  als  

Op analoge wijze is de vereniging van   en   de tweeplaatsige relatie   tussen   en   waarvoor geldt:

  als  

Vat men een tweeplaatsige relatie op als een verzameling geordende paren, overeenkomend met de grafiek van de relatie onder de andere genoemde definitie, dan zijn de doorsnede en vereniging van tweeplaatsige relaties simpelweg de doorsnede en de vereniging zoals gedefinieerd op verzamelingen in het algemeen.

ComplementBewerken

  Zie Complement (verzamelingenleer) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Het complement van  , genoteerd als   of als  , is de tweeplaatsige relatie tussen   en   waarvoor geldt:

  als  

Voor alle tweeplaatsige relaties   geldt:

 

Compositie of samenstellingBewerken

  Zie Samengestelde relatie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Laat   een tweeplaatsige relatie tussen   en   zijn, en   een tweeplaatsige relatie tussen  en  . De compositie of samenstelling van   en   is de tweeplaatsige relatie   tussen   en   waarvoor geldt:

  als er een   is waarvoor  

Compositie is associatief:

 

Daarom wordt meestal alleen   geschreven in plaats van   of  .

Vaak wordt de compositie van   en   genoteerd als   in plaats van  , zodat de notatie in overeenstemming is met de notatie voor functiecompositie. Deze keuze doet recht aan het inzicht dat compositie van tweeplaatsige relaties en compositie van functies hetzelfde inhouden, omdat functies bijzondere gevallen van tweeplaatsige relaties zijn.

InverseBewerken

  Zie Inverse voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De inverse van   is de tweeplaatsige relatie   tussen   en   waarvoor geldt:

  als  

Voor alle tweeplaatsige relaties   geldt:

  •  
  • Als   links-volledig is, dan is   rechts-volledig.
  • Als   rechts-volledig is, dan is   links-volledig.
  • Als   links-definiet is, dan is   rechts-definiet.
  • Als   rechts-definiet is, dan is   links-definiet.
  • Als   bijectief is, dan is   dat ook.

Eigenschappen van deze operatiesBewerken

Zij   en   tweeplaatsige relaties tussen   en  ,   een tweeplaatsige relatie tussen   en  , en   een tweeplaatsige relatie tussen   en  .

  • De doorsnede van   en het complement   van   is de lege relatie tussen   en  :
 
  • De vereniging van   en het complement   van   is de universele relatie tussen   en  :
 
  • De inverse van het complement van   is hetzelfde als het complement van de inverse van  :
 
  • De inverse van de compositie van   en   is hetzelfde als de compositie van de inverse van   en de inverse van  :
 
  • De inverse is distributief over zowel doorsnede als vereniging:
 
 
  • De compositie is zowel links- als rechtsdistributief over de vereniging: (dit geldt niet voor de doorsnede).
 
 

Homogene tweeplaatsige relatiesBewerken

Een homogene tweeplaatsige relatie of tweeplaatsige endorelatie is een tweeplaatsige relatie waarvan het domein en het codomein dezelfde verzameling zijn. Als   een homogene tweeplaatsige relatie op   is, wordt   soms gedefinieerd als het 2-tupel of koppel   in plaats van het 3-tupel  . Deze wijze van noteren is bijvoorbeeld gebruikelijk in de grafentheorie.

Eigenschappen van homogene tweeplaatsige relatiesBewerken

Een homogene tweeplaatsige relatie   op   heet

  • voortzettend: als voor alle   er een   is zodanig dat  .
  • reflexief: als voor alle   geldt dat  .
alternatief: als voor de grafiek   van   en de identieke afbeelding   van   geldt:  .
  • irreflexief: als er geen   is zodanig dat  .
  • symmetrisch: als voor alle   geldt: als  , dan  .
alternatief: als voor de grafieken   van   en   van   geldt:  
  • asymmetrisch: als er geen paar   is met   en  .
  • antisymmetrisch: als voor alle   geldt: als   en  , dan  .
  • transitief: als voor alle   geldt: als   en  , dan  .
alternatief: als voor de grafieken   van   en   van   geldt:  
  • intransitief: als er geen   zijn zodanig dat   en  .
  • dicht: als voor alle   geldt: als   dan is er een   zodanig dat   en  .[1]
  • euclidisch: als voor alle   geldt: als   en  , dan  .
  • samenhangend: als voor alle   geldt: als   en  , dan   of  .
  • totaal: als voor alle   geldt dat   of  , of beide.
  • connex: als voor alle   geldt dat   of   of  .
  • trichotoom: als voor alle   precies een van de volgende uitspraken waar is:  ,   of  .
  • deterministisch: als voor alle   geldt: als   en  , dan  . Vergelijk het met de definities van rechts-definitiet en functioneel.
  • convergent: als voor alle   geldt: als   en  , dan is er een   zodanig dat   en  .
  • divergent: als voor alle   geldt: als  ,   en   dan is er geen   zodanig dat   en  .

Operaties op homogene tweeplaatsige relatiesBewerken

Restrictie en extensieBewerken

  Zie Restrictie (wiskunde) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Zij   een homogene tweeplaatsige relatie op  . Als  , dan is de restrictie van   tot   de homogene tweeplaatsige relatie   op   waarvoor geldt:

  dan  .

Informeel gesproken is een restrictie van een homogene tweeplaatsige relatie het resultaat van het inperken van zijn domein.

Als   een of meer van de eigenschappen reflexief, irreflexief, symmetrisch, asymmetrisch, antisymmetrisch, transitief, intransitief, euclidisch, totaal, trichotoom, deterministisch of divergent heeft, dan heeft iedere restrictie van   dezelfde eigenschappen ook. Als gevolg is iedere restrictie van een equivalentierelatie ook een equivalentierelatie, iedere restrictie van een partiële orde ook een partiële orde, enzovoort.

Als   een restrictie van   is, dan heet   een extensie van  .

Afsluiting en reductieBewerken

Zij   een homogene tweeplaatsige relatie op  .

  • De reflexieve afsluiting van   is de tweeplaatsige relatie   op   waarvoor geldt:
 
  • De reflexieve reductie van   is de tweeplaatsige relatie   op   waarvoor geldt:
 
  • De transitieve afsluiting van   is de kleinste transitieve tweeplaatsige relatie   op   die   omvat.
  • De transitieve reductie van   is de kleinste tweeplaatsige relatie   op   met dezelfde transitieve afsluiting als van  .
  • De reflexief-transitieve afsluiting van   is de relatie  .
  • De transitief-reflexieve reductie van   is de relatie  .

EquivalentierelatiesBewerken

  Zie Equivalentierelatie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.
 
Equivalentierelatie. De verbindingen van punten met zichzelf zijn weggelaten.

Een equivalentierelatie is een homogene tweeplaatsige relatie die reflexief, symmetrisch en transitief is.

Voor een equivalentierelatie   op  , is voor iedere   de equivalentieklasse   van   de verzameling van alle elementen waarmee   in  -relatie staat:

 

Equivalentieklassen hebben de volgende eigenschappen:

  • Voor alle   geldt dat  .
  • Elke   behoort tot precies één equivalentieklasse.
  • De equivalentieklassen vormen een partitie van  .
  • Voor alle   geldt:   en   zitten in dezelfde equivalentieklasse.

De verzameling

 

van alle equivalentieklassen van   wordt de quotiëntverzameling van   onder   genoemd.

Quotiëntverzamelingen hebben de volgende eigenschappen:

  • Iedere equivalentierelatie op   levert een unieke quotiëntverzameling op. Er zijn, met andere woorden, geen twee verschillende equivalentierelaties op   die dezelfde quotiëntverzameling van   opleveren.
  •    is een partitie van  . Dat wil zeggen dat ieder element van   in precies een van de equivalentieklassen   zit, de vereniging van alle equivalentieklassen   gelijk is aan   en dat de lege verzameling geen element van   is.

Iedere partitie van   is dus een quotiëntverzameling van   onder een zekere equivalentierelatie op  , anders gezegd is er een bijectie tussen alle mogelijke partities van   en alle mogelijke equivalentierelaties op  .

OrderelatiesBewerken

  Zie Ordetheorie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een belangrijke toepassing van (homogene) tweeplaatsige relaties is het beschrijven van orde door middel van orderelaties. Soorten orderelatie zijn onder meer totale orde, partiële orde, totale preorde, preorde, strikte totale orde, strikte partiële orde en strikte zwakke orde.

GrafenBewerken

Een homogene tweeplaatsige relatie op een eindig domein kan ook geïnterpreteerd en weergegeven worden als een gerichte graaf met eventuele lussen (pijlen van een knoop naar zichzelf). De elementen uit het domein komen dan overeen met de knopen van de graaf en de elementen uit de grafiek met de zijden van de graaf.

In een context met alleen reflexieve relaties kan worden afgesproken dat de lussen niet weergegeven worden.

In een context met alleen transitieve relaties kan worden afgesproken dat met de weergegevn graaf de transitieve afsluiting ervan wordt bedoeld, en dat de relaties worden weergegeven met de graaf van de transitieve reductie, als deze bestaat, en anders de graaf wel "zoveel mogelijk" gereduceerd wordt. Dat hoeft dan niet een graaf met het absoluut minimale aantal pijlen te zijn, als duidelijk overbodige pijlen maar worden vermeden.

In een context met alleen partiële ordes kunnen beide vereenvoudigingen gecombineerd worden.

Voorbeelden van homogene tweeplaatsige relatiesBewerken

Hier volgen drie voorbeelden uit de wiskunde.

  • 'Is-groter-dan' is een bekend voorbeeld van een homogene tweeplaatsige relatie op getallen of, meer in het algemeen, op numerieke expressies. Het is een strikte totale orde.
  • 'Is-gelijk-aan' is een voor de hand liggend voorbeeld van een equivalentierelatie. Het domein van de verzameling, waarop de relatie 'is-gelijk-aan' betrekking heeft, zou de verzameling van alle objecten moeten zijn, of ten minste de verzameling van alle wiskundige objecten, maar dat leidt tot de russellparadox. Om dit te omzeilen zouden er verschillende is-gelijk-aan-relaties gedefinieerd kunnen worden voor bijvoorbeeld getallen en meetkundige figuren.
  • Omdat afbeeldingen ook tweeplaatsige relaties zijn, is iedere identieke afbeelding   een homogene tweeplaatsige relatie op  . De identieke afbeelding   op een verzameling   is zowel een bijectie als een equivalentierelatie en het is de enige relatie op   die zowel een bijectie als een equivalentierelatie is. Overigens is de identieke afbeelding van   de kleinst mogelijke equivalentierelatie op  . De grootst mogelijke equivalentierelatie op   is de universele tweeplaatsige relatie op  .

Aantal mogelijke homogene tweeplaatsige relatiesBewerken

  is een tweeplaatsige relatie en   is het aantal elementen van de verzameling  , die het domein en het codomein van   bepaalt.

Aantal mogelijke tweeplaatsige relaties op een verzameling met   elementen
  alle relaties reflexieve relaties transitieve relaties preordes partiële ordes totale preordes totale ordes equivalentierelaties partiële ordes bij ongelabelde elementen equivalentierelaties bij ongelabelde elementen
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1
2 16 4 13 4 3 3 2 2 2 2
3 512 64 171 29 19 13 6 5 5 3
4 65536 4096 3994 355 219 75 24 15 16 5
OEIS A002416[2] A053763[3] A006905[4] A000798[5] A001035[6] A000670[7] A000142[8] A000110[9] A000112[10] A00041[11]
  • Het aantal relaties is  . De universele relatie heeft   elementen. Het totale aantal relaties komt overeen met het aantal elementen in de machtsverzameling van deze universele relatie, dus is  .
  • Het aantal reflexieve en het aantal irreflexieve relaties is  .[12] Voor de   elementen   moet in een reflexieve relatie steeds gelden dat   en in een irreflexieve relatie dat  , dus blijven er in beide gevallen   geordende paren over, die al dan niet element van   zijn. Het aantal elementen in de machtsverzameling van een relatie met   geordende paren is  .
  • Het aantal bijecties is gelijk aan het aantal totale ordes.
  • Het aantal equivalentierelaties is gelijk aan het aantal partities van dezelfde verzameling.
  • Het aantal strikte partiële ordes is gelijk aan het aantal partiële ordes.[12]
  • Het aantal strikte zwakke ordes is gelijk aan het aantal totale preordes.[12] Aangezien strikte zwakke ordes strikte partiële ordes zijn, is het aantal totale preordes niet groter dan het aantal partiële ordes. Voor   is het aantal kleiner, en zijn er dus ook strikte partiële ordes die geen strikte zwakke orde zijn.
  • Het aantal strikte totale ordes is gelijk aan het aantal totale ordes.[12]

Voor elke   is er precies één equivalentierelatie die tevens partiële orde is, 'is gelijk aan', genoteerd '='. Verder is er het complement ervan, de symmetrische irreflexieve relatie 'is niet gelijk aan', genoteerd '≠'.[13] De lege relatie is irreflexief, transitief en symmetrisch, en is zowel de strikte partiële orde behorend bij '=', als de strikte zwakke orde behorend bij de totale preorde waarbij alle elementen equivalent zijn, de universele relatie. De universele relatie is een equivalentierelatie. Alle vier zijn ze dus symmetrisch. Voor   zijn het vier verschillende relaties, en is '≠' niet transitief. Het zijn de relaties die bij een permutatie van de elementen gelijk blijven, dus waarbij het gelden van   hoogstens afhangt van het al of niet gelijk zijn van   en  .

Geval n = 2Bewerken

Er zijn twee totale ordes op  , een waarbij   en een waarbij  . Voor beide geldt dat de inverse van het complement tevens de irreflexieve versie is, en dat dit een strikte totale orde is.

Er is één partiële orde op   die geen totale orde is, namelijk die waarbij alleen   en   (de relatie '='). De elementen   en   worden onvergelijkbaar genoemd. Dat geeft samen drie partiële ordes. De irreflexieve versie is de lege relatie, de strikte partiële orde die geen strikte totale orde is. De inverse van het complement is geen preorde. Er is verder een strikte partiële orde die geen strikte totale orde is, namelijk de lege relatie, die tevens de strikte zwakke orde is die hoort bij de totale preorde die geen totale orde is.

Er is één totale preorde die geen totale orde is, namelijk die waarbij voor alle paren   geldt   (de universele relatie). Voor   is dus  .   en   vormen samen een equivalentieklasse en worden equivalent, gelijkwaardig of indifferent genoemd. Dit geeft samen drie totale preordes. De inverse van het complement is de bijbehorende strikte zwakke orde ' ', de lege relatie, de al genoemde strikte partiële orde die geen strikte totale orde is.

Dit geeft samen vier preordes. Er zijn geen preordes die noch partiële orde, noch totale preorde zijn.

Als preordes die alleen verschillen door een permutatie van de elementen als één (soort) preorde worden geteld, zijn er drie: totale orde, onvergelijkbaar en equivalent.

Geval n = 3Bewerken

Er zijn 6 totale ordes, en nog 13 partiële ordes (de relatie '=', 6 partiële ordes met twee vergelijkbare elementen, en 6 met een element dat met de andere twee vergelijkbaar is) en 7 totale preordes die geen totale orde zijn (1 met één klasse, en 6 met twee klassen). Bijbehorend zijn er 6 strikte totale ordes, en nog 13 strikte partiële ordes. Van deze 13 zijn er 7 de strikte zwakke ordes die geen strikte totale orde zijn. De 6 strikte partiële ordes die geen strikte zwakke orde zijn, zijn die met precies één paar vergelijkbare elementen.

Er zijn ook 3 preordes die noch partiële orde, noch totale preorde zijn, namelijk die met twee equivalente elementen die beide met het derde element onvergelijkbaar zijn. Alle elementen zijn maximaal en minimaal element. Er zijn geen grootste of kleinste elementen. De "bijbehorende" strikte orde is steeds de lege relatie.

Als preordes die alleen verschillen door een permutatie van de elementen als één (soort) preorde worden geteld, zijn er 8: 1 totale orde, nog 4 partiële ordes, nog 2 totale preordes en nog een preorde. Merk op dat bij de niet-totale partiële ordes met een element dat met de andere twee vergelijkbaar is, onderscheiden moeten worden het geval dat er een grootste element is, en dat waarbij er een kleinste element is. Er is wel symmetrie, maar de ene gaat niet door een permutatie van de elementen over in de andere.

Er zijn 35 reflexieve relaties die geen preordes zijn omdat ze niet transitief zijn; hiertoe behoren er twee die de reflexieve afsluiting zijn van de relatie "wordt gevolgd door" bij een cyclus van de drie elementen, die overeenkomt met de opvolgersafbeelding.

Er zijn verder 6 strikte totale ordes, en nog 13 strikte partiële ordes, waaronder de lege relatie. Hiervan zijn er 7 tevens de strikte zwakke ordes die horen bij de totale preordes die geen totale orde zijn.

Geval n = 4Bewerken

Er zijn 24 totale ordes, en nog 195 partiële ordes, in totaal dus 219 partiële ordes. Er zijn verder 24 strikte totale ordes, en nog 195 strikte partiële ordes, waaronder de lege relatie. Bij ongelabelde elementen zijn er in totaal ook 16 strikte partiële ordes.

Er zijn verder 75 totale preordes, waarvan 51 die geen totale orde zijn.

Er zijn ook nog 85 preordes die noch partiële orde, noch totale preorde zijn. Hiervan zijn er 78 die kunnen worden geconstrueerd als de partiële ordes die geen totale orde zijn (13 voor n = 3), toegepast op een combinatie van twee equivalente elementen en de twee andere, niet equivalente elementen. Verder zijn er 4 met drie equivalente elementen en een onvergelijkbare, en 3 met twee onvergelijkbare paren equivalente elementen.

Als preordes die alleen verschillen door een permutatie van de elementen als één (soort) preorde worden geteld, zijn er 1 totale orde, nog 15 partiële ordes[14], voor de partities '4', '3+1', '2+2' en '2+1+1' respectievelijk 1, 2, 1 en 3 totale preordes (samen 7) en een aantal preordes die noch partiële orde, noch totale preorde zijn.

Toepassingen buiten de wiskundeBewerken

In de economische wetenschap wordt het begrip voorkeur vaak gemodelleerd met een tweeplaatsige preferentierelatie, namelijk een totale preorde of de bijbehorende strikte zwakke orde.

  Dit artikel is op 2 april 2009 in deze versie opgenomen in de etalage.