Constante van Feigenbaum
De constante van Feigenbaum is een wiskundige constante die kan optreden in een bifurcatiediagram (zie bifurcatietheorie en chaostheorie). De constante werd in 1980 ontdekt door de Amerikaanse fysicus Mitchell Feigenbaum en heeft de waarde
δ ≈ 4,66920 16091 02990 67185 32038 20466 20161...
De constante als ratio in fractals bewerken
Het ontstaan van deze verhouding kan worden geïllustreerd aan de hand van de volgende recursieve formule.
a is de bifurcatieparameter, x is de variabele. De waardes a waar de periode (aantal verschillende constanten waar de functie naar limiteert) van deze functie verdubbelt (de grootste waarde a waar de functie niet naar tussen twee of vier verschillende waardes voor x oscilleert), zijn a1, a2 etc. Deze staan in de volgende tabel:
n Periode Bifurcatieparameter ('an') Ratio 1 2 0.75 — 2 4 1.25 — 3 8 1.3680989 4.2337 4 16 1.3940462 4.5515 5 32 1.3996312 4.6458 6 64 1.4008286 4.6639 7 128 1.4010853 4.6682 8 256 1.4011402 4.6689
De ratio in de laatste kolom limiteert naar de eerste Feigenbaum constante.
Mandelbrot set bewerken
Bij de Mandelbrot set verschijnt de Feigenbaum constante als verhouding in afstand tussen elkaar grenzende cirkels liggend op het negatieve deel van de reële as op het Complexe vlak.
n Periode = Bifurcatieparameter ('cn') Verhouding 1 2 -0.75 — 2 4 -1.25 — 3 8 -1.3680989 4.2337 4 16 -1.3940462 4.5515 5 32 -1.3996312 4.6458 6 64 -1.4008287 4.6639 7 128 -1.4010853 4.6682 8 256 -1.4011402 4.6689 9 512 -1.401151982029 10 1024 -1.401154502237 ∞ -1.4011551890…
Tweede Feigenbaum constante bewerken
De tweede constante van Feigenbaum (rij A006891 in OEIS) is de verhouding tussen de diameter van een hoofdtak en zij-vertakking binnen het inwendige van de Mandelbrot set.[bron?] α ≈ 2,50290 78750 95892 82228 39028 73218...