Eerste afgeleide

Samenvoegen   Ten minste één Wikipediagebruiker vindt dat de onderstaande inhoud, of een gedeelte daarvan, samengevoegd zou moeten worden met Afgeleide, of dat er een duidelijkere afbakening tussen deze artikelen dient te worden gemaakt  (hier melden).

De eerste afgeleide is een term binnen de wiskunde, met name in de analyse. Meestal wordt over de eerste afgeleide gesproken als alleen de afgeleide. Om verschil te maken met afgeleiden van een hogere graad, zoals de tweede afgeleide, is er de aanduiding eerste afgeleide.

De eerste afgeleide van een functie geeft de mate van verandering van de functiewaarden aan en daarmee de mate van stijgen of dalen van de grafiek van de functie. De waarde van de eerste afgeleide functie in een bepaald punt geeft de waarde van de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in dat punt. Als de functie stijgt, is de afgeleide positief en als ze daalt, is de afgeleide negatief. De eerste afgeleide kan zo worden gebruikt om de extreme waarden van een functie, de maxima en de minima, op te sporen.

In een punt, waar een differentieerbare functie een extreme waarde bereikt, waar aan de ene kant de grafiek stijgt en aan de andere kant daalt, moet de eerste afgeleide wisselen van teken. In dat punt is de eerste afgeleide dus nul. Omgekeerd geldt dit niet! Een eerste afgeleide gelijk aan nul impliceert niet dat er een extreme waarde optreedt. Een punt waarin de afgeleide gelijk is aan 0, heet een stationair punt van de functie. In zo'n punt heeft de functie een extreme waarde of het is een buigpunt.Neem bijvoorbeeld . De eerste afgeleide van is . Nu is , maar in heeft geen maximum of minimum, maar het punt de oorsprong, is een buigpunt van . Als de eerste afgeleide een meervoudig nulpunt is dat een even aantal keren voorkomt, heeft de functie daar een buigpunt.

SchrijfwijzenBewerken

De eerste afgeleide van een functie   kan op meer manieren worden geschreven, zoals:

 

In deze notaties kan   of   ook vervangen worden door  .

VoorbeeldBewerken

 

De functie zelf is in het rood, de eerste afgeleide in het groen.

De continue functie   stijgt tot  , de eerste afgeleide in het groen is er daar positief. In het punt   bereikt de functie een maximum.

Voor   daalt de functie, de eerste afgeleide is er negatief, tot een minimum wordt bereikt, in het minimum is de afgeleide 0. Daarna begint de functie opnieuw te stijgen en is de eerste afgeleide weer positief.

ToepassingBewerken

De grafiek van een kwadratische functie is een parabool. De algemene vorm is:

 , met  .

Deze functie is differentieerbaar, zodat we de plaats van de extreme waarden kunnen bepalen door na te gaan waar de afgeleide nul is. Dit levert de vergelijking:

 ,

met als oplossing:

 .

Omdat de afgeleide hier van teken wisselt, is de functiewaarde in dit punt inderdaad een extreme waarde, dus een minimum of een maximum.

We nemen als voorbeeld

 ,

dus met:

 .

Deze parabool is een dalparabool en heeft een extreme waarde in het punt  . In   heeft   een minimum.

Zie ookBewerken