Dynkinsysteem

Een Dynkinsysteem op een niet-lege verzameling is in de maattheorie een collectie deelverzamelingen vergelijkbaar met een σ-algebra. Dynkinsystemen zijn genoemd naar de Russische wiskundige Eugene Borisovich Dynkin. Ze ontlenen hun belang aan de toepassing, voornamelijk in de (Lebesgue-)integraalrekening en de kansrekening, van de stelling van Dynkin.

Definitie

Een collectie deelverzamelingen ${\mathcal {D}}$ van een niet-lege verzameling Ω heet een Dynkinsysteem als de volgende eigenschappen van toepassing zijn op het 'systeem' ${\mathcal {D}}$:

• de verzameling Ω behoort zelf tot het systeem

$\Omega \in {\mathcal {D}}$.

• het systeem is gesloten onder relatieve complementvorming

$A,B\in {\mathcal {D}}{\mbox{ en }}A\subseteq B\implies B\setminus A\in {\mathcal {D}}$

• het systeem is gesloten onder vereniging van stijgende rijen

$\{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset {\mathcal {D}}{\mbox{ en }}A_{n}\subseteq A_{n+1}\implies \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {D}}$

Als ${\mathcal {J}}$ een willekeurige verzameling van deelverzamelingen van $\Omega$ is, dan is de doorsnede van alle Dynkinsystemen die ${\mathcal {J}}$ omvatten, zelf ook een Dynkinsysteem. We noemen deze doorsnijding het Dynkinsysteem dat gegenereerd wordt door ${\mathcal {J}}$. Het is tevens het kleinste Dynkinsysteem dat ${\mathcal {J}}$ omvat.

De machtsverzameling van Ω is altijd een Dynkinsysteem, dus er is altijd minstens één Dynkinsysteem dat ${\mathcal {J}}$ omvat.

Een Dynkinsysteem dat ook een pi-systeem is, is een sigma-algebra.

Stelling van Dynkin

Als ${\mathcal {C}}$ een collectie deelverzamelingen is van $\Omega$ die gesloten is onder eindige doorsnede, en ${\mathcal {D}}$ een Dynkinsysteem dat ${\mathcal {C}}$ omvat, dan omvat ${\mathcal {D}}$ ook $\sigma ({\mathcal {C}})$, de sigma-algebra voortgebracht door de elementen van ${\mathcal {C}}$.