Dominik Szoboszlai komt uit de voetbalopleiding van Videoton FC en na onder meer een kortstondig verblijf bij MTK Boedapest maakte hij in 2017 de overstap naar Red Bull Salzburg. Deze club verhuurde hem in het seizoen 2017-2018 aan de tweedeklasser FC Liefering en voor deze club maakte hij zijn debuut in het betaalde voetbal op 21 juli 2017 in de wedstrijd tegen Kapfenberg SV.
Op 27 mei 2018 maakte hij zijn debuut voor Red Bull Salzburg in de wedstrijd tegen FK Austria Wien. Hij kwam als wisselspeler in het veld voor Enuch Mwepu.
Op 18 december 2020 werd bekend dat Szoboszlai in de aankomende transferperiode zou vertrekken naar RB Leipzig. Er zou ruim 20 miljoen euro voor hem zijn betaald.[1] Daarmee werd hij de duurste Hongaarse speler in de voetbalgeschiedenis.[2]
Szoboszlai werd voor het eerst opgeroepen voor het Hongaars voetbalelftal voor de vriendschappelijke wedstrijd tegen Rusland en de WK-kwalificatiewedstrijd tegen Andorra in juni 2018. Hij maakte uiteindelijk zijn debuut voor het nationale elftal op 21 maart 2019 in de EK-kwalificatiewedstrijd in en tegen Slowakije (2–0 verlies). Hij verving László Kleinheisler in de 54ste minuut. Szoboszlai maakte zijn eerste doelpunt voor de nationale ploeg in de thuiswedstrijd tegen Slowakije op 9 september 2019 (1–2).