Deltaëder

Een deltaëder is in de meetkunde een veelvlak dat uitsluitend uit gelijkzijdige driehoeken is opgebouwd. Alle driehoeken zijn congruent. De naam deltaëder komt van de hoofdletter Δ, de delta in het Griekse alfabet, een driehoek.

Er zijn acht convexe deltaëders, drie daarvan zijn een regelmatig veelvlak. De vijf andere zijn een johnson-lichaam.

Het enige andere lichaam dat verder nog zowel een deltaëder is, als hoekpunt-, ribbe- en zijvlaktransitief, is de grote icosaëder. De grote icosaëder is niet convex.

De acht convexe deltaëdersBewerken

nummer naam afbeelding vlakken ribben hoekpunten symmetriegroep
1 viervlak   4 6 4 Td
2 driehoekige bipiramide   6 9 5 D3h
3 octaëder   8 12 6 Oh
4 vijfhoekige bipiramide   10 15 7 D5h
5 siamese dodecaëder   12 18 8 D2d
6 drievoudig verhoogd driehoekig prisma   14 21 9 D3h
7 verlengde gedraaide vierkante bipiramide   16 24 10 D4d
8 icosaëder   20 30 12 Ih
Bewijs

Een deltaëder met   zijvlakken heeft   ribben.   moet dus even zijn.   is minimaal 4 en maximaal 20, omdat het aantal driehoeken dat in een hoekpunt bij elkaar komt minimaal 3 en maximaal 5 is. Behalve voor   staan ze alle in de tabel hierboven. Een deltaëder met 18 zijvlakken is niet te maken.

Een dergelijke deltaëder   met 18 zijvlakken zou 27 ribben en vanwege de formule van Euler voor veelvlakken 11 hoekpunten moeten hebben. Noem   het aantal hoekpunten in  , waarin vijf driehoeken samenkomen,   het aantal hoekpunten waarin vier driehoeken samenkomen en   het aantal hoekpunten waarin drie driehoeken samenkomen.

  en
 .

Controle door berekening geeft als enige mogelijkheid  ,   en  .

Begin om te proberen hiermee   te maken in het hoekpunt waar vier driehoeken samenkomen. Daar begint de gelijke opbouw als die van een verlengde gedraaide vierkante bipiramide, totdat er aan het einde in het laatste hoekpunt vier driehoeken samenkomen in plaats van vijf, het is een verlengde gedraaide vierkante bipiramide geworden, en er hoekpunt over blijft. Dus is   niet te maken.