Hoofdmenu openen

Ondergroep (wiskunde)

wiskunde
(Doorverwezen vanaf Deelgroep)

In de groepentheorie verstaat men onder een ondergroep of deelgroep[1] van een gegeven groep met binaire operatie , een deelverzameling van die zelf ook een groep is onder de operatie .

Preciezer kan men zeggen dat de deelverzameling van een groep een ondergroep van is als de beperking van de bewerking tot voldoet aan de axioma's voor groepsbewerking.

Als de ondergroep van een groep gevormd wordt door een echte deelverzameling van spreekt men van een echte ondergroep. Voor elke groep is er de triviale ondergroep bestaande uit alleen het eenheidselement.

Voor elk element onderscheidt men de linkernevenklasse van ten opzichte van :

en, analoog, de rechternevenklasse

.

Een ondergroep heet normaaldeler van de groep als linker- en rechternevenklassen samenvallen.

Voor een eindige groep is de orde (dat wil zeggen het aantal elementen) van een ondergroep een deler van de orde van de groep (Stelling van Lagrange). Het quotiënt van de beide ordes is het aantal linkernevenklassen.

Basiseigenschappen van ondergroepenBewerken

  • Een deelverzameling   is een ondergroep van de groep   dan en slechts dan als   niet-leeg is en gesloten onder vermenigvuldiging en inverses. (Dit houdt in: dat met   ook   en  . Of korter: met   is ook  .)
  • Als   eindig is, dan is   een ondergroep dan en slechts dan als met   gesloten is onder vermenigvuldiging. In dit geval genereert elk element   een eindige cyclische ondergroep van  , en is de inverse van   gelijk aan  , waarin   de orde is van  .
  • Alternatief geldt dat een deelverzameling   een ondergroep van de groep   is dan en slechts dan als er een inbeddingshomomorfisme   bestaat.
  • Het neutrale element van een ondergroep is hetzelfde als het neutrale element van de groep.
  • De inverse van een element in een ondergroep is gelijk aan de inverse van het element in de groep.
  • De doorsnede van twee ondergroepen is ook een ondergroep.
  • De vereniging van de ondergroepen is alleen dan een ondergroep in het triviale geval dat een van beide ondergroepen de andere omvat.
  • Voor een deelverzameling   bestaat er een kleinste ondergroep die   omvat. Deze kleinste ondergroep is de doorsnede van alle ondergroepen die   omvatten. Deze kleinste ondergroep wordt aangeduid met   en wordt de door   voortgebrachte ondergroep genoemd. Een element van   is dan en slechts dan in   als het een eindig product is van elementen van   en hun inverses.
  • Elk element   van een groep   genereert een cyclische ondergroep  . Als er een positief geheel getal  is zodanig dat   isomorf is met  , dan is   het kleinste positieve gehele getal waarvoor   en wordt   de orde van   genoemd. Is   isomorf met  , dan zegt men dat   van een oneindige orde is.
  • De ondergroepen van een groep vormen onder inbedding een volledige tralie die de tralie van ondergroepen wordt genoemd.

VoorbeeldBewerken

Laat   een abelse groep zijn met als groepsoperatie de optelling modulo acht. De Cayley tabel van de groep is

+ 0 2 4 6 1 3 5 7
0 0 2 4 6 1 3 5 7
2 2 4 6 0 3 5 7 1
4 4 6 0 2 5 7 1 3
6 6 0 2 4 7 1 3 5
1 1 3 5 7 2 4 6 0
3 3 5 7 1 4 6 0 2
5 5 7 1 3 6 0 2 4
7 7 1 3 5 0 2 4 6

Deze groep heeft een paar niet-triviale ondergroepen:   (oranje) en   (rood). De ondergroep   is ook een ondergoep van  . De Cayley-tabel voor   bestaat uit het linkerboven kwadrant van de Cayley tabel voor  . De groep   en de ondergroepen zijn cyclische groepen. In het algemeen zijn ondergroepen van cyclische groepen ook cyclisch.

Zie ookBewerken