Cyclotomisch veld

(Doorverwezen vanaf Cyclotomisch lichaam)

In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een cyclotomisch veld (Belgische term) of cyclotomisch lichaam (Nederlandse term) een getallenlichaam dat wordt verkregen door een complexe primitieve eenheidswortel toe te voegen aan het lichaam/veld van de rationale getallen. De naam, van Oudgrieks: κύκλος (kuklos), cirkel en τομή (tomḗ), snijden, snede, verwijst naar de verdeling van de eenheidscirkel door de eenheidswortels.

Definitie bewerken

Zij   een natuurlijk getal groter dan 2. Het  -de cyclotomische lichaam/veld   wordt verkregen door een primitieve  -de eenheidswortel   aan de rationale getallen toe te voegen. Een  -de eenheidswortel heet primitief als alle andere complexe  -de eenheidswortels er (natuurlijke) machten van zijn.

Uitbreidingsgraad bewerken

Als   een priemgetal is, volgt uit het criterium van Eisenstein dat   een uitbreiding van graad   is over de rationale getallen. Algemener geldt dat voor willekeurige   de graad van de uitbreiding gelijk is aan de euler-indicator van  .

Voorbeeld bewerken

Door aan de rationale getallen de imaginaire eenheid   toe te voegen (een primitieve vierdemachtswortel van 1) ontstaat het lichaam/veld  . De graad van de uitbreiding is  . Dit is ook gemakkelijk rechtstreeks vast te stellen doordat de polynoom   irreducibel is.

Historisch belang bewerken

De cyclotomische lichamen/velden hebben een cruciale rol gespeeld in de ontwikkeling van de abstracte algebra en de getaltheorie, vanwege hun relatie met de laatste stelling van Fermat. Bij zijn uitvoerige onderzoek naar het rekenen in cyclotomische lichamen/velden (voor een priemgetal  ) - of om preciezer te zijn, vanwege het falen van het uniek factorisatiedomein in hun ring van de gehele getallen - kwam Ernst Kummer ertoe het concept van een ideaal getal te introduceren en zijn bekende kummer-congruentie te bewijzen.

Zie ook bewerken

Referenties bewerken