Centrale enkelvoudige algebra

In de ringtheorie en aanverwante deelgebieden van wiskunde is een centrale enkelvoudige algebra CEA over een lichaam/veld $K$ een eindig-dimensionale associatieve algebra $A$ die enkelvoudig is en waarvoor het centrum exact gelijk is aan $K$. Met andere woorden elke enkelvoudige algebra is een centrale enkelvoudige algebra over haar centrum.

De complexe getallen $\mathbb {C}$ vormen bijvoorbeeld een CEA over zichzelf, maar niet over de reële getallen $\mathbb {R}$ (het centrum van $\mathbb {C}$ is geheel $\mathbb {C}$, niet alleen $\mathbb {R}$). De quaternionen $\mathbb {H}$ vormen een vierdimensionale centrale enkelvouidige algebra over $\mathbb {R}$.

Volgens de stelling van Artin-Wedderburn is een enkelvoudige algebra $A$ voor een delingsring $S$ isomorf met een $M(n,S)$. Gegeven twee centrale enkelvoudige algebra's $A\sim M(n,S)$ en $B\sim M(m,T)$ over hetzelfde lichaam/veld $F$, worden $A$ en $B$ soortgelijk (of brauer-equivalent) genoemd als hun delingsringen $S$ en $T$ isomorf zijn. De verzameling van alle equivalentieklassen van centrale enkelvoudige algebra's over een gegeven lichaam/veld $F$ kan, onder deze equivalentierelatie, worden uitgerust met een groepsoperatie die door het tensorproduct van algebra's wordt gegeven. De resulterende groep $\mathrm {Br} (F)$ wordt de brauer-groep van het veld $F$ genoemd.

Eigenschappen

• Elk automorfisme van een centrale enkelvoudige algebra is een inwendig automorfisme. Dat volgt uit de stelling van Skolem-Noether.
• De dimensie van een centrale enkelvoudige algebra als een vectorruimte over haar centrum is altijd een kwadraat .
• Als $S$ een enkelvoudige deelalgebra is van een centrale enkelvoudige algebra $A$, deelt $\dim _{F}S$ vervolgens $\dim _{F}A$.
• Elke vierdimensionale centrale enkelvoudige algebra over een lichaam/veld $F$ is isomorf met een quaternionenalgebra. Het is in feite ofwel een twee-bij-twee-matrixalgebra, ofwel een delingsalgebra.