Bol (lichaam)

lichaam
(Doorverwezen vanaf Bolvormig)

Een bol is een driedimensionaal lichaam bestaande uit de punten die ten hoogst op een bepaalde afstand van een gegeven punt liggen. De gegeven afstand heet de straal en het gegeven punt het middelpunt van de bol. Het oppervlak van een bol is de sfeer met hetzelfde middelpunt en dezelfde straal als de bol. Een bol is het driedimensionale analogon van een cirkelschijf, en kan verkregen worden als omwentelingslichaam bij draaiing van een cirkelschijf om een middellijn.

Een bol

DefinitieBewerken

Een bol is de verzameling van alle punten in een driedimensionale euclidische ruimte die ten hoogste een gegeven afstand, de straal, liggen van een gegeven punt, het middelpunt van de bol. De bol   met straal   en middelpunt   is

 

De zo gedefinieerde bol wordt wel gesloten bol genoemd, ter onderscheidng van een open bol, waarvan het begrenzende oppervlak niet tot de open bol gerekend wordt.

De eenheidsbol is de bol   met de oorsprong als middelpunt en straal 1.

Andere dimensiesBewerken

In de hogere wiskunde generaliseert men het begrip van een bol (en zijn rand, de sfeer) naar willekeurige dimensies. De terminologie is niet eenduidig. In willekeurige dimensies wordt een bol als lichaam ook volle bol of bal genoemd, terwijl het oppervlak, behalve als bol en boloppervlak, ook als sfeer wordt aangeduid. Een open bol of open bal is een volle bol zonder de sfeer.

EigenschappenBewerken

De oppervlakte van een bol of sfeer met straal   is

 

Het volume van een bol met straal   is

 

Merk op dat de afgeleide van de inhoud van een bol naar de straal, de oppervlakte is. Dit geldt ook in hogere dimensies en voor de lagere dimensie.

Afleiding van het volumeBewerken

Het volume is de volume-integraal over de punten die voldoen aan:

 

De integraal is het dubbele van de integraal over de bovenste helft, en de integratie over   en   bij een gegeven waarde van   levert de oppervlakte   van de cirkel ter hoogte  , met straal  , dus:

 

Men kan zich dit zo voorstellen dat de bol bestaat uit schijven met dikte   loodrecht op de z-as, met op de hoogte   een straal  , en dus een oppervlakte  . Het totaal van deze schijven, de integraal, is het volume.

Een andere voorstelling om het volume te bepalen is om de bol gecentreerd op een 2-dimensionaal vlak voor te stellen, met het middelpunt van de bol in de oorsprong van een coördinatenstelsel.

Waar de bol het 2-dimensionale vlak snijdt vormt zich een cirkel. Uit de stelling van Pythagoras volgt dat de formule van een cirkel met het middelpunt in de oorsprong:

 

Opgedeeld in verticale schijven dwars op dit 2-dimensionaal vlak kan de oppervlakte van elk van deze schijven als volgt bepaald worden, aangezien de straal van elke schijf van de bol gelijk is aan de y-coördinaat door bovenstaande functie beschreven.

 

Wat vervolgens voor de gehele bol geïntegreerd kan worden tot het volume ervan:

 

Wiskundige vergelijkingBewerken

In cartesische coördinatenBewerken

In cartesische coördinaten kan een bol met straal   en middelpunt   weergegeven worden door de vergelijking:

 .

ParametervergelijkingBewerken

In bolcoördinaten ten opzichte van het middelpunt luidt de vergelijking:

 
 
 

DifferentiaalvergelijkingBewerken

Elk boloppervlak (sfeer) wordt beschreven door de differentiaalvergelijking

 

VoorbeeldenBewerken

De bol heeft als eigenschap dat hij van alle mogelijke driedimensionale vormen met dezelfde inhoud de kleinst mogelijke oppervlakte heeft. Door het aannemen van deze vorm wordt bijvoorbeeld een minimale energie verkregen uit de oppervlaktespanning. Als gevolg hiervan zijn veel voorwerpen in de natuur bolvormig. Voorbeelden van bolvormen in de natuur zijn:

Perfect bolvormige voorwerpen bestaan niet in de natuur. Zelfs een zwaar hemellichaam zoals de aarde is door de draaiing om zijn as enigszins afgeplat aan de polen (ellipsoïde). Ook de andere planeten en de sterren zijn min of meer bolvormig.

In veel sporten gebruikt men een bolvormig speelobject, een bal.

Licht of geluid afkomstig van een puntbron plant zich in een homogeen medium in alle richtingen even snel voort. Dit duidt men aan met bolvormige uitstraling of bolvormige voortplanting.

Woningen in een bolvorm zijn energiezuiniger omdat ze met hetzelfde woonoppervlak langs minder oppervlak warmte verliezen aan de buitenlucht en de wind krijgt er minder vat op waardoor er nog minder warmte verloren gaat. In de Bossche wijk Maaspoort staan 50 bolwoningen die verhuurd worden als sociale huurwoning, ontworpen door architect Dries Kreijkamp.

Zie ookBewerken

  Zie de categorie Spheres van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.