Betrouwbaarheidsinterval

Een betrouwbaarheidsinterval is in de statistiek een intervalschatting voor een parameter. In tegenstelling tot een puntschatting geeft een betrouwbaarheidsinterval een heel interval van betrouwbare waarden (schattingen) van de parameter. Een betrouwbaarheidsinterval is een realisatie van een stochastisch interval, dat overigens zelf ook met betrouwbaarheidsinterval wordt aangeduid. De ondergrens en de bovengrens van het stochastische interval zijn stochastische variabelen, die dus bij elke herhaling van het experiment een (mogelijk) andere waarde aannemen. De te schatten parameter daarentegen heeft een, weliswaar onbekende, maar vaste waarde. Van alle realisaties van het interval zullen sommige de parameter wel bevatten, maar sommige ook niet. Hoe groter de betrouwbaarheid, hoe "vaker" het interval de parameter bevat. De kans dat het stochastische interval de parameter bevat heet de betrouwbaarheid van het interval. De onder- en de bovengrens worden berekend uit de steekproefgegevens, en wel zo dat we een sterk vermoeden hebben dat de echte waarde van de populatieparameter zich ertussen bevindt.

DefinitieBewerken

De stochastische variabelen   vormen een steekproef uit een verdeling met onbekende parameter  . Als voor de steekproeffuncties   en   geldt:

 ,

heet het (stochastische) interval   een betrouwbaarheidsinterval voor   met betrouwbaarheid   of een  -betrouwbaarheidsinterval. Hierin is   zelf geen stochastische variabele van de individuele trekkingen. Voor de realisaties   en   van respectievelijk   en   geldt dezelfde kansuitspraak als voor   uiteraard niet. Men zegt:

"met betrouwbaarheid   geldt:  ".

Wanneer de grenzen van het betrouwbaarheidsinterval uit de steekproef kunnen worden berekend, zijn het dus steekproeffuncties en daarom zelf ook stochastische variabelen.

VoorbeeldenBewerken

Voorbeeld 1: VerkiezingenBewerken

Om een beeld te krijgen van de opkomst bij de naderende verkiezingen, is een enquête onder 1000 aselect gekozen stemgerechtigden gehouden. Van deze steekproef zeiden 700 ondervraagden te zullen gaan stemmen. Het opkomstpercentage is natuurlijk een nog onbekende parameter  . Een voor de hand liggende (punt)schatting van   is: 0,70. Maar het kan ook wat meer of minder zijn. Mogelijk 0,75 of 0,60. Is het aannemelijk dat het 0,50 zou zijn? Om deze vraag te beantwoorden zoekt men een interval  , waarvan met een zekere mate van betrouwbaarheid gezegd kan worden dat   daarin zal liggen. Met 100%-betrouwbaarheid kan men zeggen dat   tussen 0 en 1 zal liggen, maar dat geeft geen informatie. Maar wat is de betrouwbaarheid van het interval [0,65; 0,75]? En hoe moeten de grenzen worden gekozen, als een betrouwbaarheid van 95% gewenst is?

Noem   het aantal stemgerechtigden die zeggen te gaan stemmen.   is een stochastische variabele met een binomiale verdeling met parameters   en kans   dat iemand gaat stemmen. Voor de steekproeffuncties:

 

en

 ,

waarin   de steekproeffractie is, geldt:

 

Het interval   is dus een 0,95-betrouwbaarheidsinterval voor  . Omdat voor   de waarde 700 gevonden is, kunnen de realisaties   en   van respectievelijk   en   berekend worden:

 

en

 

Men zegt daarom dat met betrouwbaarheid (let wel: niet met kans) 0,95 geldt dat  .

Voorbeeld 2: Kuipjes vullenBewerken

Een machine vult kuipjes margarine en is zo ingesteld dat in elk kuipje 250 gram margarine moet komen. Natuurlijk is het niet mogelijk om ieder kuipje met precies 250 gram te vullen. Het vulgewicht is een stochastische variabele  , waarvan wordt aangenomen dat die een normale verdeling heeft met verwachting   en, voor de eenvoud, bekende standaardafwijking   gram. Om de afstelling van de machine te controleren neemt men een steekproef van   aselect gekozen kuipjes en weegt die. De gewichten aan margarine zijn  , een aselecte steekproef van  .

Om alleen maar een indruk te krijgen van de verwachting  , is het voldoende een schatting te geven. Het steekproefgemiddelde

 

is daarvoor geschikt. Maar kunnen er ook grenzen bepaald worden waartussen de parameter   met een zekere waarschijnlijkheid ligt? Is er een betrouwbaarheidsinterval voor  ?

De gewichten  , die in de steekproef zijn gemeten, hebben een gemiddelde van:

  gram.

Dat is een min of meer toevallige waarde. Het had ook 250,4 of 251,1 gram kunnen zijn. Een waarde van 280 gram is daarentegen weer onwaarschijnlijk. Er is een heel interval rond het waargenomen gemiddelde van 250,2 met schattingen die ook betrouwbaar zijn, dat wil zeggen waarvan tamelijk zeker is dat de parameter in dat interval ligt. Tamelijk zeker, want absoluut zeker is alleen het interval (0,∞), maar dat is triviaal.

In ons geval kunnen de grenzen bepaald worden door te bedenken dat het steekproefgemiddelde   van een normaal verdeelde steekproef, zelf ook normaal verdeeld is, met dezelfde verwachting  , maar met standaardafwijking   gram. Het gestandaardiseerde gemiddelde is:

 ,

dat zelf van   afhangt, maar standaardnormaal is verdeeld, dus met een verdeling onafhankelijk van de te schatten parameter  . Er is daarom een getal  , onafhankelijk van  , zodanig dat het gestandaardiseerde gemiddelde   met een voorgeschreven kans   tussen   en   ligt. De betrouwbaarheid   geeft aan hoe betrouwbaar het interval gevonden wordt. Voor de keuze   krijgt men:

 

Het getal   volgt uit:

 ,

dus  , en er geldt:

 
 
 
 

De interpretatie hiervan is: met kans 0,95 wordt een interval gevonden met stochastische grenzen

 

en

 ,

waar   tussenin ligt.

Elke keer dat de metingen worden herhaald, vindt men een andere waarde voor het steekproefgemiddelde   vinden. In 95% van de gevallen zal   tussen de met dit gemiddelde berekende grenzen liggen, in 5% van de gevallen echter ook niet. Het actuele betrouwbaarheidsinterval wordt berekend door de waarden van de gevonden gewichten in te vullen. Het 0,95-betrouwbaarheidsinterval voor   is:

 

In de onderstaande figuur zijn 50 realisaties van een betrouwbaarheidsinterval met betrouwbaarheid 95% voor een onbekende parameter   aangegeven.

De meeste, in doorsnee 95%, van deze intervallen bevatten de parameter. Enkele daarentegen ook niet. In de praktijk hebben we te maken met een van deze intervallen. Welke dat is weten we niet. Toen we de steekproef namen, hadden we een kans van 95% om een interval te vinden waarin zich de parameter bevindt. Daarom zeggen we dat de parameter met betrouwbaarheid 95% in dit interval ligt. Daarmee bedoelen we niets meer dan dat.

Betrouwbaarheidsintervallen bij verschillende verdelingenBewerken

Normale verdelingBewerken

Laat   een aselecte steekproef uit de normale verdeling   zijn,   het steekproefgemiddelde en   de variantie.

Bij bekende variantie   wordt een  -betrouwbaarheidsinterval voor   gegeven door:

 ,

met   het  -fractiel van de standaardnormale verdeling, dus  .


Als   niet bekend is, wordt deze geschat, en wordt het  -betrouwbaarheidsinterval voor  :

 ,

met   het  -fractiel van de  -verdeling.

Een  -betrouwbaarheidsinterval voor   is:

 

met   en   respectievelijk het  - en het  -fractiel van de  -verdeling.

Exponentiële verdelingBewerken

Laat   een aselecte steekproef zijn uit de exponentiële verdeling met verwachting   en   het steekproefgemiddelde.

Een  -betrouwbaarheidsinterval voor   wordt gegeven door:

 ,

met   en   respectievelijk het  - en het  -fractiel van de  -verdeling.

Binomiale verdelingBewerken

Laat   binomiaal verdeeld zijn met parameters   en  , en   een schatter van  .

Voor relatief grote   wordt een benaderend  -betrouwbaarheidsinterval voor   gegeven door:

 ,

met   het  -fractiel van de standaardnormale verdeling, dus  .

PoissonverdelingBewerken

Laat   Poisson-verdeeld zijn met verwachtingswaarde  . Uit de relatie tussen de verdelingsfuncties van de Poissonverdeling en de chi-kwadraatverdeling kan het volgende  -betrouwbaarheidsinterval voor   afgeleid worden:

 ,

met   het  -fractiel van de  -verdeling.

WebsitesBewerken