Antiprisma

In de meetkunde is een -zijdig antiprisma een veelvlak, dat door een onder- en een bovenvlak wordt gevormd van twee evenwijdige kopieën van een -zijdige veelhoek, verbonden door een band van alternerende driehoeken. Boven- en ondervlak[1] zijn daarbij in het algemeen ten opzichte van elkaar verschoven en gedraaid. Antiprisma's zijn verwant met gewone prisma's, met als verschil dat bij een prisma boven- en ondervlak niet ten opzichte van elkaar gedraaid zijn en verbonden worden door parallellogrammen.

zeventienhoekig antiprisma

Een antiprisma heet regelmatig als de veelhoek die onder- en bovenzijde vormt, een regelmatige veelhoek is. Een regelmatig antiprisma wordt recht genoemd, als de middelpunten van onder- en bovenvlak loodrecht boven elkaar liggen ten opzichte van onder- en bovenvlak.

Er ontstaat extra regelmaat als het onder- en bovenvlak van een recht antiprisma ten opzichte van elkaar over de halve hoek van de veelhoek gedraaid zijn, dus over . De zijkant van een recht antiprisma bestaat in dat geval uit een band van gelijkbenige driehoeken, een dergelijk recht antiprisma heet uniform als de zijkant bestaat uit een band van gelijkzijdige driehoeken. Een regelmatig achtvlak is het uniforme antiprisma met het minste aantal zijvlakken.

FormulesBewerken

  • De straal   van de omgeschreven bol van een recht  -zijdig antiprisma met zijde   en hoogte   kan worden berekend als de hypotenusa in een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden   en de straal   van de omgeschreven cirkel van de veelhoek. Dus:
 
  • De oppervlakte   van een recht  -zijdig antiprisma met zijde   en hoogte   is samengesteld uit de oppervlakten   van onder- en bovenvlak en de   oppervlakten   van de gelijkbenige driehoeken van de zijkant. Er geldt:
 
en
 ,
zodat   gegeven wordt door de formule:
 
  • Als het antiprisma uniform is, is:
 
en
 ,
zodat
 
  • De inhoud   van een uniform  -zijdig antiprisma met zijde   wordt gegeven door:
 

VariantenBewerken

Het uniforme antiprisma kan worden gegeneraliseerd tot uniforme antiprisma's in de ruime zin, met hoekpuntconfiguratie  , met  , waarbij bijvoorbeeld   gelijk is aan  , maar   niet gelijk is aan  . Het grondvlak van   is (ster)veelhoek  , die gelijk is aan  . Het bovenvlak is   gedraaid ten opzichte van het grondvlak, en bij het doorlopen van de ribben van onder- naar bovenvlak wordt ook een draai om de verticale as van het veelvlak gemaakt over deze hoek. De voorwaarde   is er omdat de lengte van de horizontale zijde van een driehoekig zijvlak langer moet zijn dan de horizontale component van de beide andere zijden.

  • Voor   en   relatief priem is er het sterantiprisma   met   en het retrograde sterantiprisma   met  .
  • Als   en   grootste gemene deler   hebben is er met   en   een samengesteld veelvlak van   identieke uniforme antiprisma's   door elkaar, elk met grondvlak  , samen met grondvlak  . Voorbeelden:
    •   bestaat uit twee exemplaren van het antiprisma   door elkaar.
    •   bestaat uit twee exemplaren van het sterantiprisma   door elkaar.
    •   bestaat uit twee exemplaren van het retrograde sterantiprisma   door elkaar.

Voor even   heeft het object de symmetrie van een prisma Dph en anders die van een antiprisma Dpd.

WebsitesBewerken