Uniforme continuïteit

In de wiskunde heet een functie uniform continu op een interval als de functie continu is, dus als kleine veranderingen van het argument $x$ eveneens kleine veranderingen van het beeld $f(x)$ tot gevolg hebben, en er een begrenzing van de mate van die veranderingen is die niet afhangt van de waarde van $x$. Uniforme continuïteit is een globale eigenschap van een functie op een interval, in tegenstelling tot gewone continuïteit die de functie lokaal beschrijft en dus wel afhankelijk mag zijn van $x$.

Definitie

Een functie $f\colon V\to W$ van de metrische ruimte $V$ met metriek $d$ in de metrische ruimte $W$ met metriek $d'$ heet uniform continu als er voor elk reëel getal $\varepsilon >0$ een getal $\delta >0$ bestaat zodanig dat voor alle $x,y\in V$ met $d(x,y)<\delta$ geldt dat $d'(f(x),f(y))<\varepsilon$.

Eigenschappen

• Elke uniforme continue functie is continu, maar niet andersom. Zo is $f\colon (0,1)\to \mathbb {R} ;x\mapsto 1/x$ wel continu maar niet uniform continu.
• Elke continue functie $f$ over een gesloten en begrensd gebied (compactum) $G$ is zelf begrensd en uniform continu over $G$ (Stelling van Heine-Cantor).
• Elke absoluut continue functie is ook uniform continu.
• Elke lipschitz-continue functie is ook uniform continu.
• Een uniform continue functie beeldt equivalente rijen af op equivalente rijen. Formeel betekent dit dat als $f\colon V\to W$ een uniform continue functie is en $(x_{n})_{n}$ en $(y_{n})_{n}$ twee equivalente rijen, $(f(x_{n}))_{n}$ en $(fy_{n}))_{n}$ ook equivalent zijn. Het tegendeel wordt vaak gebruikt om aan te tonen dat een functie niet uniform continu is. Let wel op, als een functie $f$ twee equivalente rijen afbeeldt op twee equivalente rijen, geeft dit geen uitsluitsel over het uniform continue karakter van $f$
• Een uniform continue functie beeldt een cauchyrij af op een cauchyrij.
• De samenstelling van uniform continue functies is opnieuw uniform continu.