Uitwisselbare sigma-algebra

In de kansrekening is de uitwisselbare σ-algebra van een familie van stochastische variabelen een speciale σ-algebra waarvan de elementen invariant zijn onder bepaalde permutaties. Uitwisselbare σ-algebra's komen voor in het kader van uitwisselbare families van stochastische variabelen en bij de Nul-één-wet van Hewitt-Savage.

Definitie

Laat $X=(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ een stochastisch proces zijn, waarvan iedere $X_{n}$ waarden in $E$ heeft, en ${\mathcal {F}}_{n}$ de verzameling van n-symmetrische, meetbare functies $f:E^{\mathbb {N} }\to \mathbb {R}$.

De door deze functies voortgebrachte σ-algebra is:

${\mathcal {S}}_{n}=\sigma ({\mathcal {F}}_{n})$

Dan is:

${\mathcal {E}}_{n}=X^{-1}({\mathcal {S}}_{n})$

de σ-algebra van alle onder permutaties van de eerste $n$ indices van het stochastische proces invariante gebeurtenissen.

De uitwisselbare σ-algebra is dan:

${\mathcal {E}}=\bigcap _{n=1}^{\infty }{\mathcal {E}}_{n}$

en daarmee de σ-algebra van alle onder eindige permutaties van de indices van het stochastische proces invariante gebeurtenissen.

Verband met de staart-σ-algebra

De staart-σ-algebra is altijd deel van de uitwisselbare σ-algebra, aangezien met de voorstelling van de staart-σ-algebra

${\mathcal {T}}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }\sigma (X_{n+1},X_{n+2},\dots )$

altijd geldt

$\sigma (X_{n+1},X_{n+2},\dots )\subset {\mathcal {E}}_{n}$

en dus

${\mathcal {T}}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }\sigma (X_{n+1},X_{n+2},\dots )\subset \bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\mathcal {E}}_{n}={\mathcal {E}}$.

Er zijn voorbeelden waarin de uitwisselbare σ-algebra gebeurtenissen bevat die niet behoren tot de staart-σ-algebra. De uitwisselbare σ-algebra is dan strikt groter dan de staart-σ-algebra.

Omgekeerd kan worden aangetoond dat voor een uitwisselbare familie van stochastische variabelen $(X_{1},X_{2},\dots )$ bij elke gebeurtenis $A\in {\mathcal {E}}$ een staartgebeurtenis $B\in {\mathcal {T}}$ bestaat, waarvoor voor het symmetrisch verschil geldt: $P(A\,\triangle \,B)=0$ (de omgekeerde conclusie is vanwege ${\mathcal {T}}\subset {\mathcal {E}}$ triviaal). Voor elke gebeurtenis in de uitwisselbare σ-algebra bestaat er dus een gebeurtenis in de staart-σ-algebra, zodat het symmetrisch verschil een nulverzameling is.

Daaruit laat zich direct de Nul-één-wet van Hewitt-Savage afleiden, namelijk dat de uitwisselbare σ-algebra van een rij onafhankelijke gelijkverdeelde stochastische variabelen een P-triviale σ-algebra is. Volgens de Nul-één wet van Kolmogorov is dan de staart-σ-algebra P-triviaal en op basis van het bovenstaande resultaat ook de uitwisselbare σ-algebra.

Literatuur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie, 3e druk, p.237-247, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2013, ISBN=978-3-642-36017-6