Stelling van Zsigmondy

De stelling van Zsigmondy is een stelling uit de getaltheorie, gepubliceerd door de Oostenrijks-Hongaarse wiskundige Karl Zsigmondy (1867-1925) in 1892.[1]

De stelling kan als volgt worden geformuleerd:[2]

Als en gehele getallen zijn groter dan 1, bestaat er steeds een priemgetal dat een deler is van maar geen deler is van voor , met uitzondering van deze gevallen:

als en , of
als en is een macht van 2.

Men noemt een dergelijke priemfactor een (priem)getal van Zsigmondy.

Deze stelling wordt gebruikt in de theorie van eindige groepen.

De stelling kan gegeneraliseerd worden:

Als twee gehele getallen groter dan 1 zijn die onderling relatief priem zijn, en is een geheel getal groter dan 1, dan bestaat er steeds een priemgetal dat een deler is van , maar geen deler is van voor , met uitzondering van deze gevallen:

en , of
is een macht van twee en .

Als krijgt men de eerste vorm van de stelling.

Voorbeelden

bewerken
  • Als   (en  ) worden de grootste priemgetallen van Zsigmondy voor   gegeven door de rij:
1, 3, 7, 5, 31, 1, 127, 17, 73, 11, 2047, 13, 8191, 43, ...[3]
(voor   en 6 is er dus geen priemgetal van Zsigmondy vanwege de eerste uitzondering op de stelling)
  • Als   (en  ) worden de grootste priemgetallen van Zsigmondy voor   gegeven door de rij:
2, 1, 13, 5, 121, 7, 1093, 41, 757, 61, 88573, 73, 797161, ...[4]
(voor   is er geen priemgetal van Zsigmondy vanwege de tweede uitzondering op de stelling)