Sierpiński-kromme

Sierpiński-krommen zijn een recursief gedefinieerde rij van continue fractalen in het gesloten vlak. De basisvorm ervan is een vierkant, het eenheidsvierkant. Sierpiński-krommen zijn als eerste door de Poolse wiskundige Wacław Sierpiński geconstrueerd. Een Sierpiński-kromme heeft een oneindige lengte, maar toch een eindige oppervlakte. In de limiet vullen Sierpiński-krommen het eenheidsvierkant volledig. Hun limietkromme, de Sierpinski-kromme, is daarom een voorbeeld van een ruimtevullende kromme. Omdat de Sierpiński-kromme ruimtevullend is, is de hausdorff-dimensie ervan in de limiet gelijk aan 2. De lengte van is

De euclidische lengte van neemt dus exponentieel met toe.

De limiet voor van het door ingesloten gebied is gelijk is aan van het eenheidsvierkant, in de euclidische metriek.

Sierpiński-kromme van de eerste orde
van de orden 1 en 2
van de orden 1 tot 3