Kolašinac maakte deel uit van de jeugdopleidingen van achtereenvolgens Karlsruher SC, 1899 Hoffenheim en VfB Stuttgart voor hij in 2011 werd opgenomen in die van Schalke 04. Hiervoor debuteerde hij op 15 september 2012 in het eerste elftal, in een competitiewedstrijd tegen Greuther Fürth. Hij maakte op 4 december 2012 ook zijn Europese debuut, in een wedstrijd in de UEFA Champions League 2012/13, tegen Montpellier. Kolašinac maakte vijf jaar deel uit van het eerste team van Schalke. Daarmee eindigde hij in de eerste vier daarvan steeds tussen de derde en zesde plaats in de Bundesliga. Vlak voor het einde van zijn laatste seizoen koos hij ervoor om zijn aflopende contract niet te verlengen.
Kolašinac verruilde Schalke in juli 2017 transfervrij voor Arsenal.[1] Hier ging hij een verdediging vormen met Nacho Monreal, Shkodran Mustafi en Héctor Bellerín. Hij debuteerde tijdens de wedstrijd om de FA Community Shield 2017 tegen Chelsea en maakte in de 82e minuut 1–1. Na een beslissende strafschoppenreeks won hij voor het eerst in zijn profcarrière een prijs. Kolašinac was bij Arsenal drie seizoenen een gewaardeerde kracht in de subtop van de Premier League, maar kwam in 2020/21 niet meer voor in de plannen van coach Mikel Arteta. Hij maakte de tweede helft van het seizoen op huurbasis af bij Schalke. Daarmee degradeerde hij naar de 2. Bundesliga. Nadat hij weer een halfjaar uitzichtloos rondliep bij Arsenal, vertrok hij in januari 2022 transfervrij naar Olympique Marseille.
Kolašinac vocht zich in 2022/23 in de basis bij Olympique Marseille. Hiermee werd hij derde in de Ligue 1. Hij verbeterde dat jaar met vier goals zijn persoonlijke record op dat vlak, onder meer door de winnende te maken tegen zowel Stade Rennais als AS Monaco. Kolašinac wisselde in juli 2023 voor de derde keer in zijn carrière transfervrij van club. Ditmaal tekende hij voor twee seizoenen bij Atalanta Bergamo.
Kolašinac speelde in diverse Duitse jeugdelftallen. Op 7 november 2013 werd hij opgeroepen voor het voetbalelftal van Bosnië en Herzegovina voor een oefeninterland tegen Argentinië op 18 november 2013. Hij kreeg van bondscoach Safet Sušić een basisplaats in die wedstrijd en speelde de gehele wedstrijd uit. Bosnië verloor het duel met 2–0 door twee doelpunten van spits Kun Agüero. Sušić nam Kolašinac in juni 2014 op in de selectie voor het wereldkampioenschap voetbal 2014, de eerste deelname van Bosnië en Herzegovina aan een eindtoernooi.[2]Op het toernooi maakte hij in de openingswedstrijd tegen latere finalist Argentinië (2–1 verlies) in de derde minuut een eigen doelpunt, het snelste eigen doelpunt in de geschiedenis van het wereldkampioenschap voetbal.[3] Ook in de afsluitende groepswedstrijd tegen Iran op 25 juni 2014 speelde Kolašinac mee; Bosnië en Herzegovina won met 3–1, maar overleefde de groepsfase niet.