Reëel deel

Van een complex getal $z$, weergegeven met de reële getallen $x$ en $y$ als $z=x+iy$, heet $x$ het reële deel van $z$. Wordt $z$ voorgesteld als het geordende paar $z=(x,y)$ dan is het eerste element van het paar het reële deel van $z$. Een complex getal heeft dus een reëel deel en een imaginair deel.

Hoofdletter R in Fraktur

Het reële deel van het complexe getal $z=x+iy$ is $x$.

Het reële deel van $z$ wordt genoteerd als $\mathrm {Re} (z)$ of ook als $\Re (z),$ waarin $\Re$ de hoofdletter R is in Fraktur.

Eigenschappen

De complexe functie die het complexe getal $z$ afbeeldt op zijn reële deel, is niet holomorf.

Met behulp van de complex geconjugeerde ${\bar {z}}$ van $z$ kan het reële deel van $z$ geschreven worden als

$\mathrm {Re} (z)={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}$.

Voor de polaire vorm

$z=r\,e^{i\varphi }=r(\cos \varphi +i\,\sin \varphi )$

geldt

$\mathrm {Re} (z)=r\,\cos \varphi$.

Voorbeelden

• Berekeningen met echte periodieke functies, zoals wisselstromen en elektromagnetische velden worden vereenvoudigd door ze als reële delen van complexe functies op te schrijven, met een fasor.
• Een sinusoïde kan op dezelfde manier als het reële deel van een complexe $e$-macht worden geschreven. Bijvoorbeeld:

${\begin{aligned}\cos(n\theta )+\cos((n-2)\theta )&=\mathrm {Re} \left(e^{in\theta }+e^{i(n-2)\theta }\right)\\&=\mathrm {Re} \left(\left(e^{i\theta }+e^{-i\theta }\right)\cdot e^{i(n-1)\theta }\right)\\&=\mathrm {Re} \left(2\cos(\theta )\cdot e^{i(n-1)\theta }\right)\\&=2\cos(\theta )\cdot \mathrm {Re} \left(e^{i(n-1)\theta }\right)\\&=2\cos(\theta )\cdot \cos((n-1)\theta ).\end{aligned}}$