Product van ringen

wiskundige theorie

In de ringtheorie, een deelgebied van de wiskunde, is het mogelijk om verschillende ringen te combineren tot een grotere productring. Het directe product van de samenstellende ringen. Het directe product van de ringen , met een willekeurige indexverzameling wordt gevormd door het cartesisch product met als bewerkingen de coördinaatsgewijze uitgevoerde bewerkingen van de samenstellende ringen. Dat houdt in dat voor de elementen en geldt:

en

Voorbeeld bewerken

Een belangrijk voorbeeld is de ring   van de gehele getallen modulo  . Als

 

is ontbonden in priemfactoren (zie hoofdstelling van de rekenkunde), volgt uit de Chinese reststelling dat   op natuurlijke wijze isomorf met de productring

 

Eigenschappen bewerken

Als   een product van ringen is, dan bestaat voor elke   een surjectief ringhomomorfisme   dat het product op de  -de coördinaat projecteert. Het product   heeft, samen met de projecties  , de volgende universele eigenschap:

Voor een willekeurige ring   en ringhomomorfismen   voor iedere   bestaat er precies één ringhomomorfisme  , zodanig dat voor alle   geldt:  .

Dit toont aan dat het product van ringen een instantiëring van producten in de zin van de categorietheorie is.

Als   voor alle   een ideaal is van  , dan is   een ideaal van  . Als   eindig is, dan is ook het omgekeerde waar, dat wil zeggen dat ieder ideaal van   van deze vorm is. Maar als   oneindig is en de ringen   niet de nulring zijn, dan is het omgekeerde onwaar: de verzameling van alle elementen met op een eindig aantal na, alle coördinaten ongelijk aan 0, vormt een ideaal dat geen direct product van idealen van de samenstellende ringen   is. Het ideaal   is een priemideaal in   als op één na elke   gelijk is aan   en de enige andere   een priemideaal in   is. Het omgekeerde is echter niet waar als   oneindig is. De directe som van de   bijvoorbeeld vormt een ideaal dat niet vervat is in enige dergelijke  , maar uit het keuzeaxiomavolgt dat het vervat is in een maximaal ideaal, dat a fortiori priem is.

Een element   is dan en slechts dan een eenheid als al zijn componenten ook eenheden zijn dat btekent: dan en slechts dan als voor elke   de projectie   een eenheid is in  . De groep van de eenheden van   is het directe product van de groepen van de eenheden van de  . Een product van meer dan een ring ongelijk aan de nulring heeft altijd nuldelers: als namelijk voor   de elementen   en   van het product zo zijn dat alle coördinaten gelijk zijn aan 0 behalve   en   dan is in de productring  .

Zie ook bewerken