Positief-definiete matrix

In de lineaire algebra wordt een vierkante n×n-matrix $\mathbf {A}$ positief-definiet genoemd, als alle elementen van $\mathbf {A}$ reëel zijn en de kwadratische vorm $\mathbf {x} ^{\text{T}}\mathbf {Ax}$, waarin $\mathbf {x}$ een kolomvector in de $n$-dimensionale euclidische ruimte is, positief-definiet is, dus als $\mathbf {x} ^{\text{T}}\mathbf {Ax} >0$ als $\mathbf {x}$ niet gelijk is aan de nulvector.

$\mathbf {A} ^{\text{T}}$ is de getransponeerde matrix van $\mathbf {A}$. Meestal wordt verondersteld dat $\mathbf {A}$ een symmetrische matrix is, maar een positief-definiete matrix hoeft niet symmetrisch te zijn:

De $2\times 2$ matrix van een vlakke rotatie over een hoek $0\leq \theta <90^{\circ }$ is niet symmetrisch, maar wel positief definiet.

Wanneer in de definitie '$>0$' wordt vervangen door '$<0$', spreekt men van een negatief-definiete matrix.

Eigenschappen

• Het product van een positief-definiete matrix met een positief reëel getal is positief-definiet.
• De som van twee positief-definiete $n\times n$-matrices is positief-definiet.

• Merk op dat het product van twee positief-definiete matrices niet noodzakelijk een positief-definiete matrix oplevert. Bijvoorbeeld:

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&3\\3&10\end{bmatrix}}$

$\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}1&-3\\-3&10\end{bmatrix}}$

zijn beide positief-definiet. Hun product

$\mathbf {AB} ={\begin{bmatrix}-8&27\\-27&91\end{bmatrix}}$

is daarentegen niet positief-definiet.

• Een vierkante matrix $\mathbf {A}$ kan altijd worden geschreven als de som $\mathbf {A} =\mathbf {B} +\mathbf {C}$ van een symmetrische matrix $\mathbf {B} =(\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{\text{T}})/2$ en een antisymmetrische matrix $\mathbf {C} =(\mathbf {A} -\mathbf {A} ^{\text{T}})/2$. De matrix $\mathbf {A}$ is dan en slechts dan positief-definiet als het symmetrische deel van $\mathbf {A}$ positief-definiet is.
• Met $\theta =\angle (\mathbf {x} ,\mathbf {Ax} )$ is

$\cos(\theta )={\frac {\mathbf {x} ^{\text{T}}\mathbf {Ax} }{\|\mathbf {x} \|\|\mathbf {Ax} \|}}={\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {Ax} \rangle }{\|\mathbf {x} \|\|\mathbf {Ax} \|}}$,

• Een symmetrische matrix $\mathbf {A}$ is positief-definiet dan en slechts dan als alle eigenwaarden van $\mathbf {A}$ strikt positief zijn. De determinant van een symmetrische positief-definiete matrix is ook strikt positief, omdat de determinant gelijk is aan het product van de eigenwaarden.
• Een symmetrische matrix die positief-definiet is, heeft dus ook een inverse matrix. De inverse matrix van een positief-definiete matrix is positief-definiet.
• Matrix $\mathbf {A}$ is positief-definiet als en slechts als de determinant van elke leidende hoofdminor van $\mathbf {A}$ strikt positief is.

Als $\mathbf {A}$ een positief-definiete matrix is, dan is elke matrix die uit $\mathbf {A}$ wordt verkregen door een aantal rijen en corresponderende kolommen uit $\mathbf {A}$ weg te laten, positief-definiet. In het bijzonder zijn de diagonale elementen van $\mathbf {A}$ strikt positief.

• Een positief-definiete matrix $\mathbf {A}$ heeft een unieke decompositie $\mathbf {A} =\mathbf {LR}$ in een benedendriehoeksmatrix $\mathbf {L}$, met 1-en op de hoofddiagonaal, en een bovendriehoeksmatrix $\mathbf {R}$, met niet-nul-elementen op de diagonaal.

De Cholesky-decompositie van een positief-definiete matrix heeft de vorm $\mathbf {A} =\mathbf {LL} ^{\text{T}}$, waarin $L$ een benedendriehoeksmatrix is.

• Een matrix $\mathbf {A}$ is dan en slechts dan positief-definiet als er een inverteerbare matrix $\mathbf {Q}$ bestaat zodanig dat $\mathbf {A} =\mathbf {Q} ^{\text{T}}\mathbf {Q}$
• Als $\mathbf {A}$ positief-definiet is, dan is voor ieder positieve gehele getal $p$ ook $\mathbf {A} ^{p}$ positief-definiet.
• Als $\mathbf {A}$ positief-definiet is, bestaat de matrix $\mathbf {A} ^{1/p}$ voor ieder positieve gehele getal $p$, dat wil zeggen dat er een matrix $\mathbf {B}$ bestaat, zodat $\mathbf {B} ^{p}=\mathbf {A}$.

Voorbeelden

• De identiteitsmatrix en elke diagonaalmatrix met strikt positieve elementen zijn positief-definiet.
• Hilbert-matrices.

Semi-definiete matrix

Men heeft een positief semi-definitieve matrix $\mathbf {A}$ wanneer de strikt positieve eis in de definitie vervangen wordt door $\mathbf {x} ^{\text{T}}\mathbf {Ax} \geq 0$. Deze matrices kunnen eigenwaarden hebben die nul zijn.

Een matrix is negatief semi-definiet indien $\mathbf {x} ^{\text{T}}\mathbf {Ax} \leq 0$ voor alle $\mathbf {x}$ ongelijk aan de nulvector.

Belang

• Als de coëfficiëntenmatrix van een stelsel van lineaire vergelijkingen positief-definiet is, heeft het stelsel een oplossing.

• De positief-definietheid van de hessiaan van een scalaire functie van $n$ variabelen is een voldoende voorwaarde voor de strikte convexiteit van die functie.

• Positief-definiete matrices treden op in methoden van lineaire regressie, bijvoorbeeld de kleinste-kwadratenmethode.

• In de statistiek is de covariantiematrix van een aantal toevalsvariabelen positief-definiet of indien een van de variabelen een lineaire combinatie is van de andere positief-semidefiniet.

Literatuur

• CR Johnson. Positive Definite Matrices, 1970. American Mathematical Monthly 77, 3, blz 259-264