Overleg:Stelling van Thales (rechten)

nieuwe afbeeldingen op wiki fr (bron van afbeeldingen nu); ik verander dat dan wel een keer alea iacta est 22 sep 2005 12:21 (CEST)

Wat is de stelling van Thales nu?

Ik ken de stelling van Thales als ‘een driehoek die een diameter van een cirkel als basis heeft en waarvan het derde hoekpunt op de cirkel ligt, is rechthoekig’ en omgekeerd, dus wat hier onder kopje 1.2 staat. Dat is bv. ook op deze leuke site over meetkunde zo geformuleerd. Wat hier op deze pagina meest benadrukt wordt is de ‘de:Strahlensatz’, dat is wat anders dan de de:Satz des Thales. H. _overleg 23 dec 2010 11:38 (CET)

Bovendien: wat heeft 1.2 met Thales te maken? Dat is de stelling van de middelpuntshoek. En wordt ook niet gebruikt bij het voorbeeldje van de piramiden. H. _overleg 4 jan 2011 20:53 (CET)

Ik heb het artikel over de stelling met de rechthoekige driehoek i.i.g. afgesplitst. Lymantria _overleg 27 feb 2012 09:17 (CET)

Bewijs

weggehaald

Bewijs met behulp van de oppervlakte van een driehoek

Een mogelijk bewijs van deze stelling verloopt als volgt:

• Noem S het snijpunt van de twee rechten r en l.
• Driehoeken AA'B' en AA'B hebben gelijke oppervlakte, want
  • gelijke basis |AA'|
  • gelijke hoogte vanwege de evenwijdigheid van AA' en BB'
• Driehoeken SAB' en SA'B hebben dus ook gelijke oppervlakte.
• Hieruit volgt dat |SA|/|SA'|=|SB|/|SB'|, als we de oppervlakten opnieuw uitwerken met als hoogte de loodrechte projectie van A en B op de overstaande zijde.
• Daarna geldt de volledige stelling door dit tweemaal toe te passen, en door transitiviteit van de gelijke verhoudingen.

Hier moeten we opmerken dat de formules van oppervlakten niet zomaar kunnen worden afgeleid van de (Euclidische) axioma's van de vlakke meetkunde en uiteindelijk terugvallen op het feit dat R de sluiting is van Q, zodat de oppervlakte van een rechthoek kan worden afgeleid van die van een vierkant, enz.

Bewijs met behulp van de volledigheid van R

Een ander bewijs verloopt als volgt:

• Eerst toont men de eigenschap aan voor gelijke lijnstukken
• Vervolgens voor onderling meetbare lijnstukken, die men immers in een evenredig aantal gelijke stukken kan verdelen
• Ten slotte voor onderling niet meetbare lijnstukken, door aan te tonen dat beide verhoudingen in een interval liggen dat men zo klein kan maken als men maar wil. Hiervoor neemt men impliciet aan dat R, de verzameling van reële getallen, de sluiting is van Q, de verzameling der rationale getallen, en dat een begrensde rij rationale getallen convergeert naar een uniek reëel getal.

ChristiaanPR (overleg) 30 nov 2020 07:15 (CET)

• Hoe je het ook wendt of keert, onder het onderling onmeetbaar (incommensurabel) zijn van de lengtes van de lijnstukken (oppervlaktes) kom je niet uit, als je volledig wil zijn. Je kan er ook voor kiezen om als laatste een rationale verhouding te bekijken, en alleen maar melding te maken van de juistheid van de stelling in het geval van een irrationale. Ik zou het moeten opzoeken, maar ik meen dat Molenbroek het min of meer zo doet._ DaafSpijker _overleg 3 dec 2020 09:48 (CET)