Ophefbare singulariteit

In de complexe functietheorie is een ophefbare singulariteit, soms verwijderbare singulariteit, van een holomorfe functie een punt waarin deze functie ongedefinieerd is, maar waarin zij zo kan worden gedefinieerd dat zij holomorf blijft op het met dit singuliere punt uitgebreide domein.

De functie

bijvoorbeeld heeft een singulariteit in . Deze singulariteit kan worden opgeheven door te definiëren. De resulterende functie, aangeduid als , is een continue, in feite holomorfe functie.

De stelling van Riemann geeft aan wanneer een singulariteit kan worden opgeheven.

Definitie bewerken

Als   een open deelverzameling van het complexe vlak is,   een punt van   is en   een holomorfe functie is, dan wordt   een ophefbare singulariteit voor   genoemd, indien er een holomorfe functie   bestaat, die samenvalt met   op  . In dat geval heet   holomorf uitbreidbaar in  .

Stelling van Riemann bewerken

Zij  ,   en   als in de bovenstaande definitie. Dan zijn de volgende uitspraken hetzelfde:

  1.   is holomorf uitbreidbaar in het punt  .
  2.   is continu uitbreidbaar in  .
  3.   is begrensd in een omgeving van  .
  4.  .
Bewijs 

Het is in te zien dat: 1) ⇒ 2) ⇒ 3) ⇒ 4).

Het is voor het bewijs van 4) ⇒ 1) voldoende aan te tonen dat   analytisch is in  , dat wil zeggen dat   een machtreeksontwikkeling heeft in  . Definieer:

 

Dan is:

 ,

waarin  , volgens 4), een continue functie is op  . Dus is   holomorf op   en heeft een taylorreeksontwikkeling rond  :

 
Maar dan is   een holomorfe uitbreiding van   in  .