Macht van een matrix

Vierkante matrices kunnen met zichzelf worden vemenigvuldigd. Men spreekt net als bij getallen van machtsverheffen: er ontstaat een macht van een matrix. Zo is:

$\mathbf {A} ^{2}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {A}$ het kwadraat van $\mathbf {A}$

en

$\mathbf {A} ^{n}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \cdot \ldots \cdot \mathbf {A}$, met $n$ factoren $\mathbf {A}$, de $n$-de macht van $\mathbf {A}$.

Gesloten vorm

Als de matrix $\mathbf {A}$ diagonaliseerbaar is, kan er een gesloten vorm voor de $n$-de macht van $\mathbf {A}$ worden gevonden. Dan geldt:

$\mathbf {A} =\mathbf {T} \Lambda \mathbf {T} ^{-1}$,

waarin $\Lambda$ een diagonaalmatrix is. De macht van een diagonaalmatrix is snel te bepalen, omdat:

$\mathbf {A} ^{n}=\mathbf {T} \Lambda \mathbf {T} ^{-1}\mathbf {T} \Lambda \mathbf {T} ^{-1}\ldots \mathbf {T} \Lambda \mathbf {T} ^{-1}=\mathbf {T} \Lambda ^{n}\mathbf {T} ^{-1}$.

Voorbeelden

Berekening

Bepaal de $n$-de macht van de matrix

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}2&0&0\\-2&3&0\\0&2&1\\\end{bmatrix}}$

Alle elementen boven de diagonaal zijn gelijk aan 0 en de diagonaalelementen zijn alle verschillend, zodat de diagonaalelementen ook de eigenwaarden zijn. Voor een diagonaalvorm van $\mathbf {A}$ kan men dus nemen:

$\Lambda ={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\\\end{bmatrix}}$

De transformatie $\mathbf {T}$ wordt bepaald door de eigenvectoren van $\mathbf {A}$. Dit zijn: (0,0,1), (1,2,4) en (0,1,1), zodat:

$\mathbf {T} ={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&2&1\\1&4&1\\\end{bmatrix}}$

Nu volgt:

$\mathbf {A} ^{n}=\mathbf {T} \Lambda ^{n}\mathbf {T} ^{-1}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&2&1\\1&4&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1^{n}&0&0\\0&2^{n}&0\\0&0&3^{n}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&-1&1\\1&0&0\\-2&1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2^{n}&0&0\\-2(3^{n}-2^{n})&3^{n}&0\\-2(3^{n}-2^{n+1}+1)&3^{n}-1&1\\\end{bmatrix}}$

Rij van Fibonacci

Voor het bepalen van het getal $f(n)$ in de rij van Fibonacci is de $(n-1)$-ste macht van de volgende matrix nodig:

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}$

De eigenwaarden van de diagonaalvorm $\Lambda$ zijn de oplossingen $\lambda$ van de karakteristieke vergelijking:

$\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )={\begin{vmatrix}1-\lambda &1\\1&-\lambda \\\end{vmatrix}}=-\lambda (1-\lambda )-1=\lambda ^{2}-\lambda -1=0$,

met oplossingen:

$\lambda _{1}={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}},\ \lambda _{2}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$.

De eigenvectoren bepalen de matrix:

$\mathbf {T} ={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&\lambda _{2}\\1&1\\\end{bmatrix}}$

Dus:

$\mathbf {A} ^{n-1}=\mathbf {T} \Lambda ^{n-1}\mathbf {T} ^{-1}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&\lambda _{2}\\1&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\\\end{bmatrix}}^{n-1}{\begin{bmatrix}{\frac {-1}{\sqrt {5}}}&{\frac {\lambda _{2}}{\sqrt {5}}}\\{\frac {1}{\sqrt {5}}}&{\frac {-\lambda _{1}}{\sqrt {5}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}^{n}&\lambda _{2}^{n}\\\lambda _{1}^{n-1}&\lambda _{2}^{n-1}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {-1}{\sqrt {5}}}&{\frac {\lambda _{2}}{\sqrt {5}}}\\{\frac {1}{\sqrt {5}}}&{\frac {-\lambda _{1}}{\sqrt {5}}}\\\end{bmatrix}}$

Hiervan is het element linksboven nodig. Dit levert:

$f_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}(\lambda _{2}^{n}-\lambda _{1}^{n})={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right)$