Legendre-polynoom

In de wiskunde is een legendre-polynoom een oplossing van de differentiaalvergelijking van Legendre. Soms echter bedoelt men de geassocieerde legendre-polynoom.

Differentiaalvergelijking

De vergelijking waarvan de polynomen een oplossing vormen luidt:

${{\rm {d}} \over {\rm {d}}x}\left[(1-x^{2}){{\rm {d}} \over {\rm {d}}x}P(x)\right]+n(n+1)P(x)=0$

Beide zijn vernoemd naar de Franse wiskundige Adrien-Marie Legendre. De vergelijking komt regelmatig voor in de natuurkunde en de toegepaste wetenschappen, omdat de laplace-vergelijking in bolcoördinaten de gedaante van deze differentiaalvergelijking van Legendre heeft (althans voor rotatie-symmetrische gevallen, voor de θ-afhankelijkheid, waarbij θ de polaire hoek is).

Een standaardmethode voor de oplossing van deze vergelijking is ontwikkeling van een machtreeks. De oplossing convergeert wanneer $|x|<1$. Bovendien is de waarde eindig voor $x=\pm 1$, vooropgesteld dat $n$ een niet-negatief geheel getal is. In dat geval vormen de oplossingen van de vergelijking een reeks van orthogonale polynomen, de legendre-polynomen

Iedere legendre-polynoom $P_{n}(x)$ is een veelterm van graad $n$ en kan uitgedrukt worden met de formule van Rodrigues:

$P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{{\rm {d}}^{n} \over {\rm {d}}x^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right]$

Orthogonaliteit

Een belangrijke eigenschap van de legendre-polynomen is dat zij, zoals hierboven reeds vermeld, orthogonaal zijn met betrekking tot het $L^{2}$ inproduct op het interval $-1\leq x\leq 1$:

$\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,{\rm {d}}x={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}$

Daarin is $\delta _{mn}$ de kronecker-delta die gelijk is aan 1 als $m=n$ en anders nul.

Een andere manier om de polynomen af te leiden is gebruik te maken van de gram-schmidtmethode op het inproduct van de polynomen $\{1,x,x^{2},\ldots \}$ De reden voor de orthogonaliteit van de polynomen is dat de legendre-vergelijking gezien kan worden als een sturm-liouvillevraagstuk

${{\rm {d}} \over {\rm {d}}x}\left[(1-x^{2}){{\rm {d}} \over {\rm {d}}x}\right]P(x)=-\lambda P(x)$,

waar de eigenwaarde $\lambda$ overeenkomt met $n(n+1)$.

Een andere belangrijke eigenschap van legendre-polynomen stelt dat:

$\int \limits _{-1}^{1}f(x)P_{n}(x)\mathrm {d} x=0$

zodra $f(x)$ een veelterm is van graad strikt kleiner dan $n$.

Voorbeelden van legendre-polynomen

De eerste legendre-polynomen zijn:

$n$	$P_{n}(x)$	normalisatiefactor
0	$1$	${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$
1	$x$	${\sqrt {\tfrac {3}{2}}}$
2	${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)$	${\sqrt {\tfrac {5}{2}}}$
3	${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)$	${\sqrt {\tfrac {7}{2}}}$
4	${\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)$	${\sqrt {\tfrac {9}{2}}}$
5	${\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)$	${\sqrt {\tfrac {11}{2}}}$
6	${\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)$	${\sqrt {\tfrac {13}{2}}}$

In de onderstaande figuur staan de grafieken van de eerste zes legendre-polynomen.

Toepassingen in de natuurkunde

Legendre-polynomen bewijzen hun nut bij de reeksontwikkeling van functies zoals

${\frac {1}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime }\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+r^{\prime 2}-2rr'\cos \gamma }}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {r^{\prime k}}{r^{k+1}}}P_{k}(\cos \gamma )$

hierbij zijn $r$ en $r'$ respectievelijk de lengte van de vectoren $\mathbf {x}$ en $\mathbf {x} ^{\prime }$ en $\gamma$ is de hoek tussen de beide vectoren. Deze ontwikkeling is geldig als $r>r'$.

Deze uitdrukking wordt bijvoorbeeld gebruikt om de potentiaal van een puntlading te vinden zoals deze ondervonden wordt in het punt $\mathbf {x}$ wanneer de lading zich op punt $\mathbf {x} '$ bevindt. De ontwikkeling is vooral van nut wanneer men een integraal over een continue ladingsverdeling wil berekenen.

Legendre-polynomen komen voor als oplossingen van de laplace-vergelijking en de poissonvergelijking voor de potentiaal $\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {x} )$, indien bolcoördinaten worden gebruikt. Daarbij wordt gebruikgemaakt van de methode van scheiding van variabelen en wordt axiale symmetrie verondersteld, zodat er geen afhankelijkheid is van de azimuthale hoek. ${\widehat {\mathbf {z} }}$ staat voor de symmetrieas en $\theta$ is de hoek tussen de waarnemer en de as ${\widehat {\mathbf {z} }}$. De oplossing is dan:

$\Phi (r,\theta )=\sum _{k=0}^{\infty }\left[A_{k}r^{k}+B_{k}r^{-(k+1)}\right]P_{k}(\cos \theta )$

$A_{k}$ and $B_{k}$ moeten voor de randvoorwaarden van het betreffende probleem bepaald worden .

Legendre-polynomen in multipoolontwikkelingen

Figuur 2

De legendre-polynoom is ook van nut bij een reeksontwikkeling van de vorm

${\frac {1}{\sqrt {1+\eta ^{2}-2\eta x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\eta ^{k}P_{k}(x)$

In feite is dit dezelfde ontwikkeling als hierboven in een wat andere vorm die voortvloeit uit de reeksontwikkeling van multipolen. De linkerzijde van de vergelijking genereert legendre-polynomen

Bijvoorbeeld, de elektrische potentiaal $\Phi (r,\theta )$ in bolcoördinaten die voortvloeit uit een puntlading op de $z$-as in het punt $z=a$ (Fig. 2) is te schrijven als

$\Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{R}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+a^{2}-2ar\cos \theta }}}$

Als de straal $r$ vanaf het punt van waarneming $\mathbf {P}$ veel groter is dan $a$, is het mogelijk de potentiaal te ontwikkelen tot legendre-polynomen:

$\Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{r}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a}{r}}\right)^{k}P_{k}(\cos \theta )$

hierbij is $\eta =a/r<1$ $x=\cos \theta$ genomen.

In het omgekeerde geval $r\ll a$ kunnen we ook ontwikkelen tot een legendre-polynoom, wanneer we de rol van $r$ en $a$ omkeren:

Overige eigenschappen

Legendre-polynomen zijn om en om symmetrisch en antisymmetrisch:

$P_{k}(-x)=(-1)^{k}P_{k}(x)$

Aangezien de differentiaalvergelijking en de orthogonaliteit onafhankelijk zijn van de schaal zijn is de veelterm van nature gestandaardiseerd. Dit betekent dat $P_{k}(1)=1$.

Soms noemt men dit genormaliseerd, maar dit is wat verwarrend omdat de norm niet een is, immers:

$\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,\mathrm {d} x={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}$

Een orthonormale versie van de polynoom kan verkregen worden door toevoeging van een normalisatiefactor ${\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}$

$P_{n,norm}(x)={{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}} \over 2^{n}n!}{{\rm {d}}^{n} \over {\rm {d}}x^{n}}(x^{2}-1)^{n}$

De afgeleide aan de eindpunten wordt gegeven door:

$P_{k}'(1)={\frac {k(k+1)}{2}}$

Legendre-polynomen kunnen opgebouwd worden door gebruik te maken van de relaties

$(n+1)P_{n+1}=(2n+1)xP_{n}-nP_{n-1}$

en

${x^{2}-1 \over n}{{\rm {d}} \over {\rm {d}}x}P_{n}=xP_{n}-P_{n-1}$

Een nuttige uitdrukking bij het integreren van de veelterm is:

$(2n+1)P_{n}={{\rm {d}} \over {\rm {d}}x}\left[P_{n+1}-P_{n-1}\right]$

Voetnoten