Landaufunctie

In de wiskunde geeft de landaufunctie $g(n)$, genoemd naar Edmund Landau, van een natuurlijk getal $n$ de grootste orde (of periode) van een element van de symmetrische groep $S_{n}.$

Alternatief kan men definiëren: $g(n)$ is de grootste orde van een permutatie van $n$ elementen, dit is het maximaal aantal maal dat een permutatie van $n$ elementen recursief op zichzelf kan worden toegepast alvorens men de oorspronkelijke volgorde terug bekomt.

Nog een andere formulering is: $g(n)$ is het grootste kleinste gemene veelvoud van alle partities van $n$ elementen.

Voorbeeld

In de onderstaande tabel staan voor $n=6$ de mogelijke partities van het getal 6 en het kleinste gemene veelvoud van de getallen van de partitie.

aantal	partitie	kgv
6	1+1+1+1+1+1	1
5	1+1+1+1+2	2
4	1+1+1+3	3
4	1+1+2+2	2
3	1+1+4	4
3	1+2+3	6
3	2+2+2	2
2	1+5	5
2	2+4	4
2	3+3	3
1	6	6

Het grootste kgv van de getallen in de parties is 6, dus de landaufunctie is $g(6)=6.$

De eerste waarden van de landaufunctie zijn:

$n$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
$g(n)$	1	1	2	3	4	6	6	12	15	20	30	30	60	60	84	105

Deléglise, Nicolas en Zimmermann ontwikkelden een algoritme om de waarde van $g(n)$ voor $n$ tot 10¹⁵ te berekenen.

Landau bewees in 1902 dat

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\ln(g(n))}{\sqrt {n\ln(n)}}}=1$

(hierin is $\ln$ de natuurlijke logaritme). Deze verhouding heeft een maximale waarde van $1{,}05313\ldots$ die vermoedelijk bereikt wordt bij $n=1319166.$

$\ln(g(n))$ is een benadering van de grootste priemfactor van $g(n)$.

Men kan ook bewijzen dat:

$g(n)<e^{n/e}$

Bronnen, noten en/of referenties