Kansgenererende functie

In de kansrekening is de kansgenererende functie van een discrete stochastische variabele met natuurlijke getallen als waarden, een machtreeks met de verschillende kansen als coëfficiënten. De kansgenerende functie is onder andere nuttig voor het berekenen van de variantie en de verwachtingswaarde van een stochastische variabele.

Definitie

Als $N$ een discrete stochastische variabele is met uitsluitend natuurlijke getallen als waarden, is de kansgenererende functie van $N$ gedefinieerd als:

$G_{N}(z)=\operatorname {E} (z^{N})=\sum _{n=0}^{\infty }P(N=n)z^{n}$

Eigenschappen

Genereren van kansen

De kansgenererende functie genereert inderdaad de kansen:

$P(N=n)={\frac {G_{N}^{(n)}(0)}{n!}}$

Verwachtingswaarde en variantie

Als $E(N)<\infty$, is:

$E(N)=\lim _{z\uparrow 1}G_{N}'(z)$

en

$\operatorname {var} (N)=E(N^{2})-E(N)^{2}=\lim _{z\uparrow 1}{\big (}G_{N}''(z)+G_{N}'(z)-G_{N}'(z)^{2}{\big )}$

Gelijke verdeling

Omdat de kansgenererende functie eenduidig met de kansen verbonden is, hebben twee stochastische variabelen dezelfde verdeling als hun kansgenererende functies gelijk zijn.

Momentgenererende functie

Tussen de kansgenererende functie en de momentgenererende functie bestaat de volgende relatie:

$G_{N}(e^{t})=M_{N}(t)$

Som van twee stochastische variabelen

De kansgenererende functie van de som $X+Y$ van twee onderling onafhankelijke stochastische variabelen is het product van de beide afzonderlijke kansgenererende functies, immers:

$G_{X+Y}(z)=\operatorname {E} (z^{X+Y})=\operatorname {E} (z^{X})\operatorname {E} (z^{Y})=G_{X}(z)G_{Y}(z)$

Voorbeelden

Ontaarde verdeling

De kansgenererende functie van een in het punt $k$ gedegenereerde verdeling, waarvoor dus $P(N=k)=1$, is

$G(x)=z^{k}$

Bernoulli-verdeling

De kansgenererende functie van de bernoulli-verdeling met parameter $p$, is

$G(z)=(1-p)+pz$

Binomiale verdeling

De kansgenererende functie van de binomiale verdeling met parameters $n$ en $p$, is

$G(z)=\left((1-p)+pz\right)^{n}$

Merk op dat dit de $n$-de macht is van de kansgenererende functie van de Bernoulli-verdeling, in overeenstemming met een van de bovengenoemde eigenschappen.

Geometrische verdeling

De kansgenererende functie van de geometrische verdeling met parameter $p$, is

$G(z)={\frac {pz}{1-(1-p)z}}$

Negatief-binomiale verdeling

De kansgenererende functie van de negatief-binomiale verdeling met parameters $m$ en $p$, is

$G(z)=\left({\frac {pz}{1-(1-p)z}}\right)^{m}$

Merk op dat dit de $m$-de macht is van de kansgenererende functie van de geometrische verdeling, in overeenstemming met een van de bovengenoemde eigenschappen.

Poisson-verdeling

De kansgenererende functie van de poisson-verdeling met parameter $\mu$, is

$G(z)=e^{\mu (z-1)}$